Segunda Questão ( \mathbf{3 , 0 p t s} ): Determine o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 x-1)^{n}}{2 n+1}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2x-1)^{n}}{2n+1}.
Aqui vamos usar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência e depois analisar os pontos finais com o teste de Leibniz (alternante).

Passo 2

Defina t=2x-1. O teste da raiz exige calcular
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^n\,t^n}{2n+1}\right|}.
Como (2n+1)^{1/n}\to1, isso dá
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|t|^n}{2n+1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{|t|}{(2n+1)^{1/n}}=|t|.
Logo a série converge se |t|<1.

Passo 3

A condição |t|<1 é
|2x-1|<1
que equivale a
-1<2x-1<1\quad\Longrightarrow\quad 0<x<1.
Esse é o intervalo aberto de convergência.

Passo 4

Analisando os extremos:
  • Em x=0 temos t=-1 e a série vira
    \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(-1)^n}{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1},
    que diverge por comparação com a harmônica.
  • Em x=1 temos t=1 e a série fica
    \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1},
    que converge por ser alternante com termos \frac1{2n+1} decrescentes a zero (teste de Leibniz).

Resposta

O intervalo de convergência é (0,1].

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