Simplifica as expressões numéricas que se seguem.
\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{-17} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{-17} \div(0,3)^{-15}}{\left[(-1)^{-3}\right]^{2}-(0,3)^{-2}}\

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema pede e os dados que temos. A expressão a simplificar é
\frac{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{-17}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{-17}\div(0,3)^{-15}}{\left[(-1)^{-3}\right]^{2}-(0,3)^{-2}}.
O que se pede: simplificar essa expressão numérica até obter um resultado final simples. Dados relevantes extraídos do enunciado:
  • aparecem potências com expoentes negativos: \left(\frac{3}{4}\right)^{-17}, \left(\frac{2}{5}\right)^{-17}, (0,3)^{-15}, (-1)^{-3}, (0,3)^{-2}.
  • há produto, divisão e operações aritméticas básicas.

Passo 2

Relembrando regras de potências que vou usar (explicação didática):
  • Definição de expoente negativo: \displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} para a\neq0. Exemplo rápido: 2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8}.
  • Regra do produto para potências com mesmo expoente: \displaystyle a^{m}\cdot b^{m}=(ab)^{m}. Exemplo: 2^{3}\cdot 3^{3}=(2\cdot3)^{3}=6^{3}.
  • Regra da multiplicação de potências com mesma base: \displaystyle a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}.
  • Divisão por uma potência: \displaystyle x\div y^{-k}=x\cdot y^{k} porque dividir por y^{-k} é multiplicar por y^{k}.
    Também vou converter o decimal 0,3 para fração: 0,3=\dfrac{3}{10}. Isso ajuda a trabalhar com potências de forma exata.

Passo 3

Aplicando a regra \displaystyle a^{m}\cdot b^{m}=(ab)^{m} ao produto \left(\dfrac{3}{4}\right)^{-17}\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-17}:
\left(\frac{3}{4}\right)^{-17}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{-17}=\left(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}\right)^{-17}.
Calculo interno do produto das frações:
\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5}=\frac{3\cdot2}{4\cdot5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.
Portanto
\left(\frac{3}{4}\right)^{-17}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{-17}=\left(\frac{3}{10}\right)^{-17}.

Passo 4

Agora trato a divisão por (0,3)^{-15}. Lembrando que 0,3=\dfrac{3}{10}, então (0,3)^{-15}=\left(\dfrac{3}{10}\right)^{-15}. Dividir por isso é multiplicar pelo recíproco da potência negativa:
\left(\frac{3}{10}\right)^{-17}\div\left(\frac{3}{10}\right)^{-15} =\left(\frac{3}{10}\right)^{-17}\times\left(\frac{3}{10}\right)^{15}.
Agora uso a regra \displaystyle a^{p}\cdot a^{q}=a^{p+q}:
\left(\frac{3}{10}\right)^{-17}\times\left(\frac{3}{10}\right)^{15} =\left(\frac{3}{10}\right)^{-17+15}=\left(\frac{3}{10}\right)^{-2}.

Passo 5

Calculo \left(\dfrac{3}{10}\right)^{-2}. Pela definição de expoente negativo:
\left(\frac{3}{10}\right)^{-2}=\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{10^{2}}{3^{2}}=\frac{100}{9}.
Então o numerador da expressão original fica
1-\left(\frac{3}{4}\right)^{-17}\times\left(\frac{2}{5}\right)^{-17}\div(0,3)^{-15} =1-\frac{100}{9}.
Coloco em denominador comum:
1=\frac{9}{9}\quad\Rightarrow\quad 1-\frac{100}{9}=\frac{9-100}{9}=\frac{-91}{9}.

Passo 6

Agora o denominador: \left[(-1)^{-3}\right]^{2}-(0,3)^{-2}.
Primeiro (-1)^{-3}. Sabendo que (-1)^{3}=-1, então
(-1)^{-3}=\frac{1}{(-1)^{3}}=\frac{1}{-1}=-1.
Elevando ao quadrado:
\left[(-1)^{-3}\right]^{2}=(-1)^{2}=1.
Em seguida (0,3)^{-2}=\left(\dfrac{3}{10}\right)^{-2}=\dfrac{100}{9} (mesmo cálculo do passo anterior).
Logo o denominador é
1-\frac{100}{9}=\frac{9-100}{9}=\frac{-91}{9}.

Passo 7

Agora a fração total vale
\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}}=\frac{\dfrac{-91}{9}}{\dfrac{-91}{9}}.
Qualquer número (não nulo) dividido por ele mesmo dá 1. Portanto a expressão simplifica para 1.

Resposta

1

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