Simplifica as expressões numéricas que se seguem.
\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \div\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}{\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]^{3}}-\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{4}\right]^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \div\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}{\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]^{3}}-\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{4}\right]^{-1}.
Informações dadas (apenas reescritas para ficar claro):
  • Há potências de frações: \left(\frac{3}{4}\right)^{2}, \left(\frac{5}{4}\right)^{2}, \left(\frac{3}{5}\right)^{2}, \left(\frac{3}{5}\right)^{4}.
  • Existem operações de divisão entre potências com mesmo expoente, potenciação de potência e expoente negativo.
    O objetivo é transformar tudo usando as leis de potências e obter um resultado numérico simples.

Passo 2

Relembre as regras de potências que vamos usar (explicadas de forma concreta):
  • Produto/Quociente de potências com o mesmo expoente: \frac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{n}.Exemplo rápido: \dfrac{2^{3}}{5^{3}}=\left(\dfrac{2}{5}\right)^{3}=\dfrac{8}{125}.
  • Potência de potência: \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{m n}.Exemplo: \bigl(2^{3}\bigr)^{2}=2^{6}=64.
  • Quociente de potências com mesma base: \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.Exemplo: \dfrac{2^{5}}{2^{3}}=2^{2}=4.
  • Expoente negativo: a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}.Exemplo: 2^{-3}=\dfrac{1}{8}.
Vou aplicar estas regras passo a passo à expressão.

Passo 3

Simplificar o numerador \left(\frac{3}{4}\right)^{2}\div\left(\frac{5}{4}\right)^{2}.
Usando \dfrac{a^{n}}{b^{n}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n} (ou pensar como dividir potências com mesmo expoente),
\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\div\left(\frac{5}{4}\right)^{2} =\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}{\left(\frac{5}{4}\right)^{2}} =\left(\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}\right)^{2}.
Agora \dfrac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{5}. Portanto
\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\div\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2}.

Passo 4

Simplificar o denominador \left[\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]^{3}.
Usando \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn},
\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]^{3}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2\cdot 3}=\left(\frac{3}{5}\right)^{6}.

Passo 5

Formar a fração principal com as simplificações dos passos anteriores:
\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \div\left(\frac{5}{4}\right)^{2}}{\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{2}\right]^{3}} =\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{3}{5}\right)^{6}}.
Agora aplicamos \dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}:
\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}{\left(\frac{3}{5}\right)^{6}}=\left(\frac{3}{5}\right)^{2-6}=\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}.

Passo 6

Simplificar o segundo termo \left[\left(\frac{3}{5}\right)^{4}\right]^{-1}.
Aplicando \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn},
\left[\left(\frac{3}{5}\right)^{4}\right]^{-1}=\left(\frac{3}{5}\right)^{4\cdot(-1)}=\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}.
Observação: expoente negativo significa recíproco, então \left(\frac{3}{5}\right)^{-4}=\left(\frac{5}{3}\right)^{4}, mas por enquanto basta notar que os dois termos são idênticos.

Passo 7

Subtrair os dois termos encontrados:
\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}-\left(\frac{3}{5}\right)^{-4}=0,
pois qualquer número menos ele mesmo é zero. (Se quiser verificar numericamen­te: \left(\frac{3}{5}\right)^{-4}=\left(\frac{5}{3}\right)^{4}=\dfrac{625}{81}, e \dfrac{625}{81}-\dfrac{625}{81}=0.)

Resposta

0

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