A partir dos dados abaixo, encontre a função f(x).
(b) f^{\prime \prime}(x)=2 e^{x}+3 \operatorname{sen}(x), f(0)=0, f(\pi)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a segunda derivada
f''(x)=2e^x+3\sin(x)
com as condições de contorno
f(0)=0,\quad f(\pi)=0.
O conteúdo aqui é integração de funções elementares (exponencial e trigonométrica) e aplicação das condições para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Para encontrar f'(x), integramos f''(x) uma vez e introduzimos a constante C_1:
f'(x)=\int\bigl(2e^x+3\sin x\bigr)\,dx + C_1 =2e^x-3\cos x + C_1.

Passo 3

Para obter f(x), integramos f'(x) e introduzimos a constante C_2:
f(x)=\int\bigl(2e^x-3\cos x + C_1\bigr)\,dx + C_2 =2e^x-3\sin x + C_1x + C_2.

Passo 4

Aplicamos f(0)=0:
f(0)=2e^0 - 3\sin0 + C_1\cdot0 + C_2 =2 + C_2 =0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=-2.

Passo 5

Aplicamos f(\pi)=0:
f(\pi)=2e^\pi -3\sin\pi + C_1\pi -2 =2e^\pi + C_1\pi -2 =0 \quad\Longrightarrow\quad C_1\pi =2-2e^\pi \quad\Longrightarrow\quad C_1=\frac{2-2e^\pi}{\pi}.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 em f(x), concluímos
f(x)=2e^x-3\sin x+\frac{2-2e^\pi}{\pi}\,x-2.

Resposta

f(x)=2e^x-3\sin x+\frac{2-2e^\pi}{\pi}\,x-2.

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