Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Determine a solução geral da equação diferencial y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=0 :
Escolha uma opção:
y=c_{1} e^{t}+c_{2} e^{-3 t}
Nenhuma das demais alternativas
y=c_{1} e^{(1+\sqrt{3}) t}+c_{2} e^{(1-\sqrt{3}) t}
y=c_{1} e^{3 t / 2}+c_{2} e^{-3 t / 2}
y=c_{1} e^{\frac{(9+3 \sqrt{5}) t}{2}}+c_{2} e^{\frac{(9-3 \sqrt{5}) t}{2}}
y=c_{1}+c_{2} e^{-5 t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 5\,y' = 0
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolvê-la, usaremos o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(t)=e^{r t},
logo
y'(t)=r\,e^{r t}, \quad y''(t)=r^{2}e^{r t}.
Substituindo em y''+5y'=0, temos
r^{2}e^{r t} + 5r\,e^{r t} = 0
e, como e^{r t}\neq0, a equação característica é
r^{2} + 5r = 0.

Passo 3

Fatorando a equação característica:
r(r+5)=0
logo as raízes são
r_{1}=0, \quad r_{2}=-5.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(t) = C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}e^{r_{2}t} = C_{1}e^{0\cdot t} + C_{2}e^{-5t} = C_{1} + C_{2}e^{-5t}.

Resposta

y = C_{1} + C_{2}e^{-5t}

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