(4 pontos) Considere a função
.
a) Encontre o domínio de
, os pontos de intersecção com os eixos coordenados e as assíntotas horizontais e verticais, caso existam;
b) Indique os intervalos de crescimento, decaimento, os pontos críticos e os extremos relativos de
, caso existam;
c) Estude a concavidade da função
e determine os pontos de inflexão, caso existam;
d) Esboce o gráfico de
.
a) Encontre o domínio de
b) Indique os intervalos de crescimento, decaimento, os pontos críticos e os extremos relativos de
c) Estude a concavidade da função
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
incluindo domínio, interseções com eixos, assíntotas, monotonicidade, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso vamos precisar usar fatoração, limites, derivadas primeira e segunda e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, identificamos os valores que anulam o denominador:
logo o domínio é
Fatorando o numerador temos
, de modo que, para
,
Interseções com eixos:
Eixo
:
, vale e está no domínio.
Eixo
:
não está no domínio, não há intercepto em
.
Assíntotas: Vertical em
, pois o comportamento de
explode.
Não há assíntota vertical em
, mas sim um ponto de descontinuidade removível (buraco) em
.
Horizontal em
, porque
Assíntotas:
Passo 3
Derivamos a forma simplificada
:
Como
para todo
, a função é sempre decrescente em cada intervalo de
. Não há pontos críticos onde
, nem extremos relativos (os únicos pontos que anulam o denominador já foram excluídos do domínio).
Passo 4
Derivando de novo,
Para
temos
, concavidade voltada para baixo; para
temos
, concavidade para cima. Como a função não é contínua em
nem em
, não existe ponto de inflexão no domínio.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, observamos:
— Assíntota vertical em . Ao aproximar-se de
,
; de
,
.
— Assíntota horizontal em .
— Buraco em .
— Ponto .
— Função sempre decrescente; concava para baixo em e para cima em
e
.
— Assíntota vertical em
— Assíntota horizontal em
— Buraco em
— Ponto
— Função sempre decrescente; concava para baixo em
O esboço consiste em dois ramos separados pelo assíntota
, aproximando-se de
para
, com buraco em
e passando por
.
Resposta
(a) Domínio
. Interseção com eixo
em
. Sem interseção com eixo
. Assíntota vertical
. Buraco em
. Assíntota horizontal
.
(b)
em todo
, logo
é decrescente em cada intervalo de
, sem extremos relativos.
(c)
: concavidade para baixo em
e para cima em
e
. Não há pontos de inflexão no domínio.
(d) Gráfico: dois ramos decrescentes em
e
, assíntota vertical
, horizontal
, buraco em
e ponto
.