Determine quais das seguintes afirmações são verdadeira:
Escolha uma ou mais:
12. Se as funções y_{1} e y_{2} são duas soluções linearmente independentes de y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0 então c_{1} y_{1} e c_{2} y_{2} também são soluções linearmente independentes, desde que c_{1} c_{2} \neq 0.
Se as funções y_{3}=y_{1}+y_{2} e y_{4}=y_{1}-y_{2} são duas soluções linearmente independentes de y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0 então y_{1} e y_{2} também formam um conjunto linearmente independente de soluções.
Se as funções y_{1} e y_{2} são duas soluções linearmente independentes de y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0 então y_{3}=a_{1} y_{1}+a_{2} y_{2} e y_{4}=b_{1} y_{1}+b_{2} y_{2} também formam um conjunto linearmente independente de soluções se, e somente se, \left|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\\ b_{1} & b_{2}\end{array}\right|=0.
O Wronskiano de duas funções é t^{2}+4, logo essas funções são linearmente independentes.
O Wronskiano de duas funções é 1+ sen t, logo essas funções são linearmente dependentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade de cinco afirmações sobre soluções de segunda ordem da equação
y''+p(t)y'+q(t)y=0
e sobre o Wronskiano de duas funções. Vamos usar os seguintes conceitos:
Multiplicar soluções por constantes não nulas preserva a independência linear.
logo ou W(t)\equiv0 (dependência linear) ou W(t)\neq0 em todo o domínio (independência linear).
Passo 2
Analisando a afirmação 1: “Se y_1 e y_2 são independentes então c_1y_1 e c_2y_2 também são independentes, desde que c_1c_2\neq0.”
Multiplicar cada solução por constante não nula equivale a uma transformação diagonal com determinante c_1c_2\neq0. Como esse determinante é não nulo, a independência linear é preservada.
Portanto, a afirmação 1 é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmação 2: “Se y_3=y_1+y_2 e y_4=y_1-y_2 são independentes então y_1 e y_2 também são independentes.”
Escrevemos
Como \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix}=-2\neq0, essa transformação é invertível e preserva independência linear em ambos os sentidos.
Logo, a afirmação 2 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação 3: “y_3=a_1y_1+a_2y_2 e y_4=b_1y_1+b_2y_2 são independentes se, e somente se, \displaystyle\begin{vmatrix}a_1&a_2\b_1&b_2\end{vmatrix}=0.”
O critério correto é que a matriz dos coeficientes deve ter determinante diferente de zero para que as combinações sejam independentes. Aqui afirmam exatamente o oposto =0, logo está invertido.
Portanto, a afirmação 3 é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação 4: “O Wronskiano de duas funções é t^2+4, logo essas funções são linearmente independentes.”
Como t^2+4>0 para todo t, o Wronskiano nunca se anula. Pelos teoremas de EDO, isso garante independência linear.
Logo, a afirmação 4 é verdadeira.
Passo 6
Analisando a afirmação 5: “O Wronskiano de duas funções é 1+\sin t, logo essas funções são linearmente dependentes.”
Para dependência linear seria preciso W(t)\equiv0. Aqui 1+\sin t tem zeros isolados mas não é identicamente zero, e em EDO homogênea ou o Wronskiano é sempre zero ou nunca é zero. Portanto não se pode concluir dependência.
Logo, a afirmação 5 é falsa.