O potencial elétrico criado por um dipolo elétrico é dado por
varphi=14 pi varepsilon0 p cdot rr^3
onde pé um vetor constante que representa o momento de dipolo. Mostre que o campo elétrico, definido como E=-nabla varphi, é dado por
E=14 pi varepsilon0(3(p cdot r) rr^3-pr^3)
Sugestão. Use as identidades
nabla(A cdot B)=A times(nabla times B)+B times(nabla times A)+(A cdot nabla) B+(B cdot nabla) A (A cdot nabla) f(r) r=f(r)r[A-r(A cdot r)]+r(A cdot r) partial f(r)partial r

Passo 1

O enunciado dá
varphi=14pivarepsilon0pcdotrr^3
e pede o campo
E=-nablavarphi.
O conteúdo é cálculo de gradiente de produto escalar usando identidades vetoriais.

Passo 2

Escrevemos
varphi=14pivarepsilon0;pcdotB com B=rr^3
Aplicando
nabla(AcdotB) =Atimes(nablatimesB) +Btimes(nablatimesA) +(Acdotnabla)B +(Bcdotnabla)A,
com A=p constante temos nablatimesp=0, nablatimesB=0 e (Bcdotnabla)p=0. Logo
nablavarphi =14pivarepsilon0,(pcdotnabla)B

Passo 3

Reconhecemos
B=rr^3=f(r),r com f(r)=1r^2
Usamos então
(Acdotnabla)l[f(r),rr] =f(r)rl[A-r(Acdotr)r] +r(Acdotr),partial f(r)partial r,
com A=p.

Passo 4

Calculamos
f(r)=r^-2, f(r)r=r^-3, partial f(r)partial r=-2,r^-3
Logo
(pcdotnabla)B =1r^3l[p-r(pcdotr)r] +r(pcdotr)(-2,r^-3) =p-3,r(pcdotr)r^3
Portanto
nablavarphi =14pivarepsilon0, p-3,r(pcdotr)r^3

Passo 5

Aplicando E=-nablavarphi obtemos
E =14pivarepsilon0, 3,r(pcdotr)-pr^3,
que é exatamente a forma solicitada.

Resposta

E =14pivarepsilon0l(3(pcdotr),rr^3 -pr^3r)

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