A partir da expressão obtida por Rayleigh e Jeans para a densidade espectral de radiação térmica de um corpo negro obtenha a fórmula de Planck. Quais as hipóteses necessárias para o ajuste da distribuição espectral ? Quais as implicações físicas decorrentes das mesmas ? Justifique detalhadamente as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos partir da expressão de Rayleigh-Jeans para a densidade espectral de radiação térmica de um corpo negro e chegar à fórmula de Planck. Isso envolve conceitos de física térmica e radiação. Vamos precisar usar conhecimentos sobre a distribuição de energia em ondas eletromagnéticas e como quantização de energia leva à fórmula de Planck.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Rayleigh-Jeans, que descreve a densidade espectral de radiação para um corpo negro em termos clássicos. A fórmula é:
Aqui,
é a densidade espectral,
é a frequência,
é a temperatura,
é a constante de Boltzmann e
é a velocidade da luz.
Passo 3
A Lei de Rayleigh-Jeans funciona bem em baixas frequências, mas apresenta um problema conhecido como Catástrofe Ultravioleta, onde a densidade espectral cresce sem limite em altas frequências, o que não condiz com o que observamos na realidade.
Passo 4
Para resolver esse problema, Max Planck propôs que a energia não é contínua, mas sim quantizada. Ou seja, a energia das oscilações eletromagnéticas está em múltiplos de uma unidade mínima chamada quantum de energia, dada por:
Onde
é a constante de Planck.
Passo 5
Com essa ideia de quantização, Planck derivou uma nova fórmula para a densidade espectral, que é:
Essa fórmula leva em conta a natureza quantizada da energia e resolve o problema da Catástrofe Ultravioleta, pois a densidade espectral não cresce indefinidamente em altas frequências.
Passo 6
As hipóteses necessárias para ajustar a distribuição espectral de Rayleigh-Jeans para a de Planck são:
- Quantização da energia: A energia dos osciladores no corpo negro é quantizada em unidades de
. - Distribuição estatística de Boltzmann: As probabilidades de ocupação dos estados de energia seguem a distribuição de Boltzmann.
Passo 7
As implicações físicas dessas hipóteses são:
- Evidência da quantização: A quantização da energia foi uma das primeiras pistas que levaram ao desenvolvimento da mecânica quântica.
- Prevenção da Catástrofe Ultravioleta: Com a energia quantizada, a densidade espectral não diverge em altas frequências, alinhando-se com observações experimentais.
- Entendimento da radiação de corpo negro: Mostra que a radiação emitida por corpos negros não pode ser explicada apenas por teorias clássicas, necessitando de uma abordagem quântica.
Resposta
Assim, partindo da Lei de Rayleigh-Jeans e introduzindo a quantização da energia, chegamos à fórmula de Planck para a densidade espectral de radiação de um corpo negro. As hipóteses fundamentais foram a quantização da energia e a aplicação da distribuição de Boltzmann, as quais resolveram a Catástrofe Ultravioleta e forneceram um modelo que concorda com as observações experimentais, sendo fundamentais para o desenvolvimento da física quântica.