A partir da expressão obtida por Rayleigh e Jeans para a densidade espectral de radiação térmica de um corpo negro obtenha a fórmula de Planck. Quais as hipóteses necessárias para o ajuste da distribuição espectral ? Quais as implicações físicas decorrentes das mesmas ? Justifique detalhadamente as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos partir da expressão de Rayleigh-Jeans para a densidade espectral de radiação térmica de um corpo negro e chegar à fórmula de Planck. Isso envolve conceitos de física térmica e radiação. Vamos precisar usar conhecimentos sobre a distribuição de energia em ondas eletromagnéticas e como quantização de energia leva à fórmula de Planck.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Rayleigh-Jeans, que descreve a densidade espectral de radiação para um corpo negro em termos clássicos. A fórmula é:
rho(nu, T) = 8 pi nu^2 kB Tc^3
Aqui, rho(nu, T) é a densidade espectral, nu é a frequência, T é a temperatura, kB é a constante de Boltzmann e c é a velocidade da luz.

Passo 3

A Lei de Rayleigh-Jeans funciona bem em baixas frequências, mas apresenta um problema conhecido como Catástrofe Ultravioleta, onde a densidade espectral cresce sem limite em altas frequências, o que não condiz com o que observamos na realidade.

Passo 4

Para resolver esse problema, Max Planck propôs que a energia não é contínua, mas sim quantizada. Ou seja, a energia das oscilações eletromagnéticas está em múltiplos de uma unidade mínima chamada quantum de energia, dada por:
E = h nu
Onde h é a constante de Planck.

Passo 5

Com essa ideia de quantização, Planck derivou uma nova fórmula para a densidade espectral, que é:
rho(nu, T) = 8 pi h nu^3c^3 cdot 1e^h nukB T - 1
Essa fórmula leva em conta a natureza quantizada da energia e resolve o problema da Catástrofe Ultravioleta, pois a densidade espectral não cresce indefinidamente em altas frequências.

Passo 6

As hipóteses necessárias para ajustar a distribuição espectral de Rayleigh-Jeans para a de Planck são:
  1. Quantização da energia: A energia dos osciladores no corpo negro é quantizada em unidades de h nu.
  2. Distribuição estatística de Boltzmann: As probabilidades de ocupação dos estados de energia seguem a distribuição de Boltzmann.

Passo 7

As implicações físicas dessas hipóteses são:
  1. Evidência da quantização: A quantização da energia foi uma das primeiras pistas que levaram ao desenvolvimento da mecânica quântica.
  2. Prevenção da Catástrofe Ultravioleta: Com a energia quantizada, a densidade espectral não diverge em altas frequências, alinhando-se com observações experimentais.
  3. Entendimento da radiação de corpo negro: Mostra que a radiação emitida por corpos negros não pode ser explicada apenas por teorias clássicas, necessitando de uma abordagem quântica.

Resposta

Assim, partindo da Lei de Rayleigh-Jeans e introduzindo a quantização da energia, chegamos à fórmula de Planck para a densidade espectral de radiação de um corpo negro. As hipóteses fundamentais foram a quantização da energia e a aplicação da distribuição de Boltzmann, as quais resolveram a Catástrofe Ultravioleta e forneceram um modelo que concorda com as observações experimentais, sendo fundamentais para o desenvolvimento da física quântica.

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