A partir das operaçōes nāo usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto R^2 é um Espaço VetoriaL. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nảo săo válidos.
Adiçāo: (x1, y1)+(x2, y2)=(x1, 0) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(c x1, c y1), com c in R.

Passo 1

O enunciado define em R^2 as operações
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1,0), ccdot(x1,y1)=(c,x1,;c,y1)
Queremos ver se isso faz de R^2 um espaço vetorial, i.e., se todos os axiomas de espaço vetorial se mantêm válidos.

Passo 2

Verificamos primeiro algumas propriedades básicas:
  1. (Fechamento em adição) Se (x1,y1),(x2,y2)inR^2, então (x1,0)inR^2. Logo, há fechamento em adição.
  2. (Fechamento em escalar) Para cinR e (x1,y1)inR^2, tem-se (c,x1,c,y1)inR^2. Logo, fechamento em multiplicação escalar.
  3. (Associatividade da adição) Dados
u=(x1,y1), v=(x2,y2), w=(x3,y3),
temos
(u+v)+w=(x1,0)+w=(x1,0), u+(v+w)=u+(x2,0)=(x1,0),
portanto (u+v)+w = u+(v+w). A associatividade vale.

Passo 3

(Comutatividade da adição)
u+v=(x1,0), v+u=(x2,0)
Em geral (x1,0)neq(x2,0), logo ;u+vneq v+u. A comutatividade da adição falha.

Passo 4

(Existência do vetor zero)
Se existisse 0=(a,b) tal que 0+u = u para todo u=(x1,y1), teríamos
(a,0)=(a,b)+(x1,y1)=0+u = (x1,y1),
o que exigiria a=x1 e 0=y1 para todo x1,y1. Isso é impossível. Logo não existe vetor neutro.
(Existência de inverso aditivo) Sem vetor zero, não faz sentido ter inverso. Assim, o axioma do inverso aditivo falha também.

Passo 5

Verificamos agora os axiomas de multiplicação escalar que restam:
  1. ;1cdot u = (1cdot x1,1cdot y1)=(x1,y1). O elemento neutro escalar vale.
  2. ;al(b,ur)=a,(b,x1,b,y1)=(a,b,x1,a,b,y1) e (ab),u=((ab),x1,(ab),y1). Logo ;a(bu)=(ab)u.
  3. Distributividade em relação à adição vetorial:
a(u+v)=a(x1,0)=(a,x1,0), au+av=(a,x1,a,y1)+(a,x2,a,y2)=(a,x1,0),
logo ;a(u+v)=au+av.
4. Distributividade em relação à adição escalar:
(a+b)u=((a+b)x1,(a+b)y1), au+bu=(a,x1,a,y1)+(b,x1,b,y1)=(a,x1,0)
Em geral (a+b)y1neq0, então (a+b)uneq au+bu. Esse axioma falha.

Passo 6

Resumo dos axiomas que falham:
Comutatividade da adição.
Existência do vetor zero (identidade aditiva).
Existência de inverso aditivo.
Distributividade de (a+b)u = au + bu.

Resposta

R^2 não é um espaço vetorial com essas operações. Os axiomas que não valem são:
– comutatividade da adição;
– existência do vetor zero;
– existência do inverso aditivo;
– distributividade de escalar soma sobre vetor: (a+b)u=au+bu.

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