A partir das operaçōes nāo usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto
é um Espaço VetoriaL. Se não for, identifique TODOS os axiomas que nảo săo válidos.
Adiçāo:
Multiplicação por um escalar:
, com
.
Adiçāo:
Passo 1
O enunciado define em
as operações
Queremos ver se isso faz de
um espaço vetorial, i.e., se todos os axiomas de espaço vetorial se mantêm válidos.
Passo 2
Verificamos primeiro algumas propriedades básicas:
- (Fechamento em adição) Se
, então . Logo, há fechamento em adição. - (Fechamento em escalar) Para
e , tem-se . Logo, fechamento em multiplicação escalar. - (Associatividade da adição) Dados
temos
portanto
. A associatividade vale.
Passo 3
(Comutatividade da adição)
Em geral
, logo
. A comutatividade da adição falha.
Passo 4
(Existência do vetor zero)
Se existisse tal que
para todo
, teríamos
Se existisse
o que exigiria
e
para todo
. Isso é impossível. Logo não existe vetor neutro.
(Existência de inverso aditivo) Sem vetor zero, não faz sentido ter inverso. Assim, o axioma do inverso aditivo falha também.
(Existência de inverso aditivo) Sem vetor zero, não faz sentido ter inverso. Assim, o axioma do inverso aditivo falha também.
Passo 5
Verificamos agora os axiomas de multiplicação escalar que restam:
-
. O elemento neutro escalar vale. -
e . Logo . - Distributividade em relação à adição vetorial:
logo
.
4. Distributividade em relação à adição escalar:
4. Distributividade em relação à adição escalar:
Em geral
, então
. Esse axioma falha.
Passo 6
Resumo dos axiomas que falham:
– Comutatividade da adição.
– Existência do vetor zero (identidade aditiva).
– Existência de inverso aditivo.
– Distributividade de .
– Comutatividade da adição.
– Existência do vetor zero (identidade aditiva).
– Existência de inverso aditivo.
– Distributividade de
Resposta
– comutatividade da adição;
– existência do vetor zero;
– existência do inverso aditivo;
– distributividade de escalar soma sobre vetor: