Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicaçāo por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição:
Multiplicação por um escalar:
.
Adição:
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e uma multiplicação por escalar modificada
O que faremos é checar os axiomas de espaço vetorial sobre
e ver se todos se satisfazem.
Passo 2
Verificamos os axiomas relativos à adição:
- Fechamento: a soma de dois vetores de
é outro vetor em . - Comutatividade:
- Associatividade: segue da associatividade da soma em
. - Elemento neutro:
satisfaz - Inverso aditivo: para cada
temos tal que a soma dá .
Passo 3
Verificamos axiomas envolvendo escalar e soma:
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
- Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
- Compatibilidade de multiplicação de escalares:
Passo 4
Agora o axioma de identidade escalar: deve valer
Mas aqui temos
que só coincide com
quando
. Logo, em geral
falhando esse axioma essencial.