Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicaçāo por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^3 a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c x1, c y1, 0), com c in R.

Passo 1

O enunciado define em R^3 a adição usual
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e uma multiplicação por escalar modificada
c,(x1,y1,z1)=(c,x1,;c,y1,;0)
O que faremos é checar os axiomas de espaço vetorial sobre R e ver se todos se satisfazem.

Passo 2

Verificamos os axiomas relativos à adição:
  • Fechamento: a soma de dois vetores de R^3 é outro vetor em R^3.
  • Comutatividade: (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,dots)=(x2+x1,dots)=(x2,y2,z2)+(x1,y1,z1)
  • Associatividade: segue da associatividade da soma em R.
  • Elemento neutro: (0,0,0) satisfaz (x1,y1,z1)+(0,0,0)=(x1,y1,z1)
  • Inverso aditivo: para cada (x1,y1,z1) temos (-x1,-y1,-z1) tal que a soma dá (0,0,0).

Passo 3

Verificamos axiomas envolvendo escalar e soma:
  1. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: cl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) =c(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) =(c(x1+x2),,c(y1+y2),,0)
= (c,x1+c,x2,;c,y1+c,y2,;0) =c(x1,y1,z1)+c(x2,y2,z2)
  1. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (c+d)(x1,y1,z1) =((c+d)x1,,(c+d)y1,,0) =(c,x1+d,x1,;c,y1+d,y1,;0) =c(x1,y1,z1)+d(x1,y1,z1)
  2. Compatibilidade de multiplicação de escalares: cl(d(x1,y1,z1)r) =c(d,x1,;d,y1,;0) =((c,d)x1,;(c,d)y1,,0) =(c,d)(x1,y1,z1)

Passo 4

Agora o axioma de identidade escalar: deve valer
1cdot (x1,y1,z1)=(x1,y1,z1)
Mas aqui temos
1cdot (x1,y1,z1)=(1cdot x1,;1cdot y1,;0)=(x1,y1,0),
que só coincide com (x1,y1,z1) quando z1=0. Logo, em geral
1cdot vneq v,
falhando esse axioma essencial.

Resposta

R^3 com essas operações não é um espaço vetorial sobre R, pois o axioma 1cdot v=v falha.

Exercícios relacionados