Sejam T: R^3 P2(R) e G: P2(R) R^3 transformações lineares tais que
[T]B, C=(rrr 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0 ) e [G]C, B=(rrr 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 -1 & 1 & 2 )
onde B e C são as bases B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) e C=1,1+x, 1+x^2.
Determine bases para ker(T) e Im(T).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
TcolonR^3toP2(R) cuja matriz em relação às bases
B=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1) no domínio e
C=1,;1+x,;1+x^2 no contradomínio é
[T]B,C = 1 & 2 & -1 1 & 0 & -1 0 & 1 & 0
Vamos achar ker(T) resolvendo [T]B,C,v=0 e Im(T) como o espaço gerado pelas colunas dessa matriz, traduzindo-as em polinômios da base C.

Passo 2

Calculemos o núcleo resolvendo
As equações são
Da terceira têm-se . Da segunda . A primeira fica , que já é satisfeita. Logo
, .

Passo 3

O vetor de coordenadas está em relação à base . Assim um vetor genérico em é
Logo

Passo 4

Para a imagem, as colunas de [T]B,C são as coordenadas de T(b1),T(b2),T(b3) na base C.
Coluna 1 ;(1,1,0) corresponde ao polinômio
1cdot1 ;+;1cdot(1+x);+;0cdot(1+x^2) =2 + x
Coluna 2 ;(2,0,1) corresponde a
2cdot1 ;+;0cdot(1+x);+;1cdot(1+x^2) =3 + x^2
A terceira coluna é múltipla da primeira, então bastam essas duas.

Resposta

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