A partir do resultado da questão 2, calcule o campo elétrico, sobre o eixo z, de um disco circular de raio R com densidade superficial de carga sigma constante.
Dica: utilize para um elemento de carga d q^prime=sigma d l^prime d r^prime e relacione com o elemento de carga d q^prime=lambda d l^prime de um anel.
Com o resultado para E(0,0, z), faça o limite R infty e determine assim o campo elétrico gerado por um plano infinito uniformemente carregado. Nesse caso, a expressão obtida para o campo é restrita ao eixo z ou pode ser generalizada para qualquer ponto? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico sobre o eixo z de um disco de raio R com densidade superficial de carga constante sigma, usando o resultado para um anel, e em seguida o limite Rtoinfty para obter o campo de um plano infinito. O conteúdo da matéria é eletrostática de cargas contínuas, em particular superposição de anéis carregados para formar um disco, e uso de integrais próprias para distribuir a carga. Vamos precisar do campo axial de um anel de carga dq', dado por
dEz = 14pivarepsilon0,z,dq'(z^2+r'^2)^3/2,
onde r' é o raio do anel e z a distância ao ponto de observação.

Passo 2

Para montar o disco como sobreposição de anéis concêntricos, considere um anel de raio r' e largura dr'. A área desse anel é dA = 2pi r',dr', então a carga nele é
dq' = sigma,dA = sigma,(2pi r',dr')

Passo 3

O elemento de campo na direção z gerado por esse anel, segundo o resultado conhecido, é
dEz = 14pivarepsilon0,z,dq'(z^2+r'^2)^3/2 = 14pivarepsilon0,z,(2pisigma,r',dr')(z^2+r'^2)^3/2
Simplificando,
dEz = sigma,z2varepsilon0,r',dr'(z^2+r'^2)^3/2

Passo 4

Integramos dEz de r'=0 até r'=R:
Ez(0,0,z) = sigma,z2varepsilon0integral0^Rr',dr'(z^2+r'^2)^3/2
Use a substituição u = z^2 + r'^2, du = 2r',dr', logo
integral0^Rr',dr'(z^2+r'^2)^3/2 = integralz^2^z^2+R^2du/2u^3/2 = [-1raizu]z^2^z^2+R^2 = 1z - 1raizz^2+R^2
Portanto
Ez(0,0,z) = sigma2varepsilon0,l(1 - zraizz^2+R^2r),
e E(0,0,z)=Ez,hat z, apontando para fora do disco.

Passo 5

Fazendo o limite Rtoinfty, observa-se que raizz^2+R^2approx Rtoinfty, então tfraczraizz^2+R^2to0. Assim
limRtoinftyEz(0,0,z) = sigma2varepsilon0

Passo 6

Esse resultado para o plano infinito não depende de z, ou seja, o campo é constante e sempre perpendicular ao plano carregado. Por simetria, em qualquer ponto do espaço a magnitude vale sigma/(2varepsilon0) e a direção é normal ao plano (sem depender da posição). Logo a expressão se generaliza para todo ponto, não ficando restrita ao eixo z.

Resposta

E(0,0,z) = sigma2varepsilon0l(1 - zraizz^2+R^2r)hat z
No limite Rtoinfty:
E = sigma2varepsilon0,hat n,
onde hat n é o vetor unitário normal ao plano, e esse resultado vale em qualquer ponto do espaço por simetria.

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