A partir do resultado da questão
, calcule o campo elétrico, sobre o eixo
, de um disco circular de raio
com densidade superficial de carga
constante.
Dica: utilize para um elemento de carga
e relacione com o elemento de carga
de um anel.
Com o resultado para
, faça o limite
e determine assim o campo elétrico gerado por um plano infinito uniformemente carregado. Nesse caso, a expressão obtida para o campo é restrita ao eixo
ou pode ser generalizada para qualquer ponto? Justifique.
Com o resultado para
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico sobre o eixo
de um disco de raio
com densidade superficial de carga constante
, usando o resultado para um anel, e em seguida o limite
para obter o campo de um plano infinito. O conteúdo da matéria é eletrostática de cargas contínuas, em particular superposição de anéis carregados para formar um disco, e uso de integrais próprias para distribuir a carga. Vamos precisar do campo axial de um anel de carga
, dado por
onde
é o raio do anel e
a distância ao ponto de observação.
Passo 2
Para montar o disco como sobreposição de anéis concêntricos, considere um anel de raio
e largura
. A área desse anel é
, então a carga nele é
Passo 3
O elemento de campo na direção
gerado por esse anel, segundo o resultado conhecido, é
Simplificando,
Passo 4
Integramos
de
até
:
Use a substituição
,
, logo
Portanto
e
, apontando para fora do disco.
Passo 5
Fazendo o limite
, observa-se que
, então
. Assim
Passo 6
Esse resultado para o plano infinito não depende de
, ou seja, o campo é constante e sempre perpendicular ao plano carregado. Por simetria, em qualquer ponto do espaço a magnitude vale
e a direção é normal ao plano (sem depender da posição). Logo a expressão se generaliza para todo ponto, não ficando restrita ao eixo
.
Resposta
No limite
:
onde
é o vetor unitário normal ao plano, e esse resultado vale em qualquer ponto do espaço por simetria.