Todas as soluçōes de y^{\prime \prime}-\frac{2 y^{\prime}}{x}+\frac{2 y}{x^{2}}=4 x^{3}, com soluçōes y_{1}=x, y_{2}=x^{2} da equação homogènea associada
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
y''-\frac{2y'}{x}+\frac{2y}{x^{2}}=4x^{3},
e informa que as soluções da equação homogênea associada são \,y_{1}=x e \,y_{2}=x^{2}. A pergunta implícita é: encontrar todas as soluções (a solução geral) da equação não-homogênea usando a informação dada. Informações relevantes extraídas do enunciado:
Nenhuma outra informação foi dada. A partir daqui vamos construir a solução geral.
Passo 2
Qual método vou usar e por quê. Como já tenho duas soluções linearly independent da homogênea (y_1,y_2), o método natural é variação de parâmetros: ele permite construir uma solução particular da equação não-homogênea escrevendo a solução como combinação linear de y_1,y_2 com coeficientes que são funções de x. Outra alternativa seria tentar um ansatz (coeficientes indeterminados), mas os coeficientes da E.D.O. dependem de x (não são constantes), então esse método é arriscado. Variação de parâmetros é sistemática e direta aqui.
Na variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.
Passo 4
Derivação das equações para u_{1}'\) e \(u_{2}'\) (explico passo a passo). Primeiro derivamos \(y_p\):
\[y_{p}'=u_{1}'y_{1}+u_{1}y_{1}'+u_{2}'y_{2}+u_{2}y_{2}'.
Para reduzir ordem imponho a condição conveniente (padrão na variação de parâmetros):
Agora substituo y_p,y_p',y_p'' na equação diferencial y''+p y'+q y=r. Como y_1,y_2 satisfazem a equação homogênea, os termos que envolvem u_1 y_1'' + p u_1 y_1' + q u_1 y_1 e o análogo para y_2 somam zero. Restam apenas os termos com u_1' e u_2', que formam o sistema linear
Aqui C_{1},C_{2} são constantes de integração. Na construção de uma solução particular podemos escolher C_{1}=C_{2}=0, porque constantes multiplicadas por y_1,y_2 apenas reproduzem termos já contidos na solução homogênea; esses serão recolhidos pelos coeficientes arbitrários finais da solução geral.
Passo 8
Com u_{1}=-x^{4} e u_{2}=\tfrac{4}{3}x^{3} (escolhendo constantes zero para a particular), a solução particular é
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Observação: a equação tem singular em x=0 (coeficientes com 1/x e 1/x^{2}), então normalmente consideramos soluções em intervalos onde x\neq0 (por exemplo x>0 ou x<0).