1. Todas as soluçōes de y^{\prime \prime}-\frac{2 y^{\prime}}{x}+\frac{2 y}{x^{2}}=4 x^{3}, com soluçōes y_{1}=x, y_{2}=x^{2} da equação homogènea associada

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial não-homogênea
y''-\frac{2y'}{x}+\frac{2y}{x^{2}}=4x^{3},
e informa que as soluções da equação homogênea associada são \,y_{1}=x e \,y_{2}=x^{2}. A pergunta implícita é: encontrar todas as soluções (a solução geral) da equação não-homogênea usando a informação dada. Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{E.D.O.: }\;y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^{2}}y=4x^{3},
\text{soluções homogêneas: }\;y_{1}(x)=x,\quad y_{2}(x)=x^{2}.çõê
Nenhuma outra informação foi dada. A partir daqui vamos construir a solução geral.

Passo 2

Qual método vou usar e por quê. Como já tenho duas soluções linearly independent da homogênea ( y_1,y_2), o método natural é variação de parâmetros: ele permite construir uma solução particular da equação não-homogênea escrevendo a solução como combinação linear de y_1,y_2 com coeficientes que são funções de x. Outra alternativa seria tentar um ansatz (coeficientes indeterminados), mas os coeficientes da E.D.O. dependem de x (não são constantes), então esse método é arriscado. Variação de parâmetros é sistemática e direta aqui.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x).
Comparando com a dada, temos
p(x)=-\frac{2}{x},\quad q(x)=\frac{2}{x^{2}},\quad r(x)=4x^{3}.
Na variação de parâmetros procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1},u_{2} são funções a determinar.

Passo 4

Derivação das equações para u_{1}'\) e \(u_{2}'\) (explico passo a passo). Primeiro derivamos \(y_p\): \[y_{p}'=u_{1}'y_{1}+u_{1}y_{1}'+u_{2}'y_{2}+u_{2}y_{2}'.
Para reduzir ordem imponho a condição conveniente (padrão na variação de parâmetros):
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.
Assim simplificamos a derivada para
y_{p}'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.
Derivando de novo:
y_{p}''=u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''.
Agora substituo y_p,y_p',y_p'' na equação diferencial y''+p y'+q y=r. Como y_1,y_2 satisfazem a equação homogênea, os termos que envolvem u_1 y_1'' + p u_1 y_1' + q u_1 y_1 e o análogo para y_2 somam zero. Restam apenas os termos com u_1' e u_2', que formam o sistema linear
\begin{cases} u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,\\[6pt] u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=r(x). \end{cases}
Esse é um sistema linear 2×2 para u_{1}'\] e \(u_{2}'.]

Passo 5

Resolver o sistema usando o Wronskiano. Defino o Wronskiano de y_1,y_2 por
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Usando formula padrão (Cramer) para o sistema acima obtemos as fórmulas simples
u_{1}'(x)=-\frac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.
Essas fórmulas vêm diretamente de resolver o sistema linear; elas são muito usadas na variação de parâmetros.]

Passo 6

Calculo o Wronskiano para y_{1}=x e y_{2}=x^{2}. Primeiro derivadas: y_{1}'=1, y_{2}'=2x. Então
W(x)=x\cdot(2x)-1\cdot x^{2}=2x^{2}-x^{2}=x^{2}.
Portanto W(x)=x^{2} (note que W\neq0 para x\neq0, o que confirma que y_1,y_2 são independentes em intervalos onde x\neq0).

Passo 7

Agora uso as fórmulas para u_1' e u_2' com r(x)=4x^{3}, y_1=x, y_2=x^{2} e W=x^{2}:
u_{1}'(x)=-\frac{4x^{3}\cdot x^{2}}{x^{2}}=-4x^{3},
u_{2}'(x)=\frac{4x^{3}\cdot x}{x^{2}}=4x^{2}.
Agora integro para obter u_1 e u_2. Integrais:
u_{1}(x)=\int -4x^{3}\,dx=-x^{4}+C_{1},
u_{2}(x)=\int 4x^{2}\,dx=\frac{4}{3}x^{3}+C_{2}.
Aqui C_{1},C_{2} são constantes de integração. Na construção de uma solução particular podemos escolher C_{1}=C_{2}=0, porque constantes multiplicadas por y_1,y_2 apenas reproduzem termos já contidos na solução homogênea; esses serão recolhidos pelos coeficientes arbitrários finais da solução geral.

Passo 8

Com u_{1}=-x^{4} e u_{2}=\tfrac{4}{3}x^{3} (escolhendo constantes zero para a particular), a solução particular é
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=(-x^{4})\cdot x+\frac{4}{3}x^{3}\cdot x^{2}=-x^{5}+\frac{4}{3}x^{5}=\frac{1}{3}x^{5}.
Verifique mentalmente: substituindo y_p=\tfrac{1}{3}x^{5} na equação original deve satisfazê-la (pode-se checar derivando e substituindo).

Passo 9

A solução geral da equação é a soma da solução geral da homogênea com uma solução particular:
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{5},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. Observação: a equação tem singular em x=0 (coeficientes com 1/x e 1/x^{2}), então normalmente consideramos soluções em intervalos onde x\neq0 (por exemplo x>0 ou x<0).

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{2}+\dfrac{1}{3}x^{5}

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