Produto Interno: (i) Determine quais dos subconjuntos de vetores abaixo são ortogonais (todos os vetores ortogonais entre si), em relação ao produto interno usual.
(ii) Calcule a norma de cada vetor.
(iii) Determine um vetor (o complemento ortogonal de ).
(a)
(b)
(c) S=(3,-2,1,3),(-1,3,-3,4),(3,8,7,0).
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três conjuntos de vetores em ℝⁿ e queremos para cada um (i) checar se o conjunto é ortogonal (isto é, produto interno zero para todo par), (ii) calcular a norma usual de cada vetor e (iii) encontrar um vetor não-nulo u que satisfaça
u cdot v = 0 para todo v in S, ou seja, u \in S^\perp. Vamos usar as definições de produto interno xcdot y = sumi xi yi e norma |x|=raizxcdot x, além de resolver sistemas lineares homogêneos para achar u.
Passo 2
Para o conjunto (a) S=(-1,4,-3),(5,2,1): verificamos ortogonalidade computando o produto interno
Para o conjunto (c) em ℝ⁴ S=(3,-2,1,3),(-1,3,-3,4),(3,8,7,0): calculamos os três produtos internos entre pares e todos dão zero, então (c) é ortogonal. As normas são
|(3,-2,1,3)| = raiz9+4+1+9 = raiz23,
|(-1,3,-3,4)| = raiz1+9+9+16 = raiz35,
|(3,8,7,0)| = raiz9+64+49+0 = raiz122
Passo 8
Para achar
Uma solução inteira não-trivial é (u = (-223,-66,171,122)], que satisfaz todas as equações.
Resposta
(a) É ortogonal. Normas: raiz26 e raiz30. Um vetor em S^perp é (5,-7,-11).
(b) É ortogonal. Normas: raiz6 e raiz5. Um vetor em S^perp é (-5,-2,1).
(c) É ortogonal. Normas: raiz23, raiz35 e raiz122. Um vetor em S^perp é (-223,-66,171,122).