Produto Interno: (i) Determine quais dos subconjuntos S de vetores abaixo são ortogonais (todos os vetores ortogonais entre si), em relação ao produto interno usual.
(ii) Calcule a norma de cada vetor.
(iii) Determine um vetor u in S^perp (o complemento ortogonal de S ).
(a) S=(-1,4,-3),(5,2,1)
(b) S=[r1 -2 1],[l0 1 2]
(c) S=(3,-2,1,3),(-1,3,-3,4),(3,8,7,0).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três conjuntos de vetores em ℝⁿ e queremos para cada um (i) checar se o conjunto é ortogonal (isto é, produto interno zero para todo par), (ii) calcular a norma usual de cada vetor e (iii) encontrar um vetor não-nulo u que satisfaça
u cdot v = 0 para todo v in S, ou seja, u \in S^\perp. Vamos usar as definições de produto interno xcdot y = sumi xi yi e norma |x|=raizxcdot x, além de resolver sistemas lineares homogêneos para achar u.

Passo 2

Para o conjunto (a) S=(-1,4,-3),(5,2,1): verificamos ortogonalidade computando o produto interno
(-1,4,-3)cdot(5,2,1) = (-1)cdot5 + 4cdot2 + (-3)cdot1 = -5 + 8 -3 = 0
Como dá zero, o conjunto (a) é ortogonal.

Passo 3

Ainda em (a), calculamos as normas:
|(-1,4,-3)| = raiz(-1)^2 + 4^2 + (-3)^2 = raiz1 + 16 + 9 = raiz26,
|(5,2,1)| = raiz5^2 + 2^2 + 1^2 = raiz25 + 4 + 1 = raiz30

Passo 4

Para achar
Uma solução não-trivial é, por exemplo, (u = (5,-7,-11)], pois satisfaz ambas as equações.

Passo 5

Para o conjunto (b) S=[1,-2,1]^T,[0,1,2]^T: o produto interno
[1,-2,1]cdot[0,1,2] = 1cdot0 + (-2)cdot1 + 1cdot2 = -2 +2 = 0
é zero, logo (b) é ortogonal. As normas são
|[1,-2,1]|=raiz1+4+1=raiz6,
|[0,1,2]|=raiz0+1+4=raiz5

Passo 6

Para achar
Tomando por exemplo e . Assim .

Passo 7

Para o conjunto (c) em ℝ⁴ S=(3,-2,1,3),(-1,3,-3,4),(3,8,7,0): calculamos os três produtos internos entre pares e todos dão zero, então (c) é ortogonal. As normas são
|(3,-2,1,3)| = raiz9+4+1+9 = raiz23,
|(-1,3,-3,4)| = raiz1+9+9+16 = raiz35,
|(3,8,7,0)| = raiz9+64+49+0 = raiz122

Passo 8

Para achar
Uma solução inteira não-trivial é (u = (-223,-66,171,122)], que satisfaz todas as equações.

Resposta

(a) É ortogonal. Normas: raiz26 e raiz30. Um vetor em S^perp é (5,-7,-11).
(b) É ortogonal. Normas: raiz6 e raiz5. Um vetor em S^perp é (-5,-2,1).
(c) É ortogonal. Normas: raiz23, raiz35 e raiz122. Um vetor em S^perp é (-223,-66,171,122).

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