Passar do sistema polar para o sistema cartesiano.
rho^2=k^2 sen 2 theta

Passo 1

O enunciado pede para converter do sistema polar para o sistema cartesiano a equação
rho^2 = k^2sin 2theta
O conteúdo aqui é a conversão de coordenadas polares, usando as relações
rho^2=x^2+y^2,
x=rhocostheta e
y=rhosintheta,
além da fórmula do seno de ângulo duplo sin2theta.

Passo 2

Expressamos sin2theta em função de x e y. Sabendo que
sin2theta=2sinthetacostheta,
temos
sin2theta = 2yrho,xrho = 2xyrho^2

Passo 3

Substituímos esse resultado na equação polar:
rho^2 = k^2,2xyrho^2
Multiplicando ambos os lados por rho^2, obtemos
(rho^2)^2 = 2,k^2,xy

Passo 4

Finalmente, usamos rho^2=x^2+y^2 para escrever tudo em x e y:
(x^2+y^2)^2 = 2,k^2,xy

Resposta

(x^2+y^2)^2 = 2,k^2,xy

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