Passar do sistema polar para o sistema cartesiano.
rho^2 cos ^2 2 theta=2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para transformar a equação em coordenadas polares
rho^2cos^22theta = 2
para coordenadas cartesianas (x,y). Vamos usar as relações
rho^2 = x^2+y^2, costheta = tfracxrho, sintheta = tfracyrho
e a identidade trigonométrica
cos2theta = cos^2theta - sin^2theta.

Passo 2

Expressar cos2theta em termos de x e y. Como
costheta = tfracxrho e sintheta = tfracyrho, temos
cos2theta = x^2rho^2 - y^2rho^2 = x^2-y^2rho^2

Passo 3

Elevar ao quadrado para obter cos^22theta:
cos^22theta = l(tfracx^2-y^2rho^2r)^2 = (x^2-y^2)^2rho^4

Passo 4

Substituir cos^22theta na equação polar rho^2cos^22theta=2:
rho^2,(x^2-y^2)^2rho^4 = 2 Longrightarrow (x^2-y^2)^2rho^2 = 2

Passo 5

Substituir rho^2=x^2+y^2 e isolar em x,y:
(x^2-y^2)^2x^2+y^2 = 2 Longrightarrow (x^2-y^2)^2 = 2,(x^2+y^2)

Resposta

(x^2-y^2)^2 = 2,(x^2+y^2)

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