Passar do sistema polar para o sistema cartesiano:
log a rho=k theta

Passo 1

O enunciado dá em coordenadas polares a relação
logarho = k,theta
e pede a mesma curva em coordenadas cartesianas. Vamos usar as fórmulas de conversão
rho = raizx^2 + y^2 e theta = arctanl(tfracyxr), além do fato de que
logarho = ktheta implica rho = a^,ktheta.

Passo 2

Isolamos rho a partir de
logarho = k,theta
usando a definição de logaritmo:
rho = a^,ktheta

Passo 3

Substituímos rho por raizx^2 + y^2, que é a distância ao ponto (x,y) na reta polar, obtendo
raizx^2 + y^2 = a^,ktheta

Passo 4

Finalmente, substituímos theta por arctanl(tfracyxr). Assim a equação em coordenadas cartesianas fica
raizx^2 + y^2 ;=; a^,k,arctan!l(tfracyxr)

Resposta

raizx^2 + y^2 = a^,k,arctan!l(tfracyxr)

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