Responda as questões abaixo e justifique sua resposta.
É possível existir uma transformação linear sobrejetora
?
É possível existir uma transformação linear sobrejetora
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se é possível existir uma transformação linear sobrejetora
. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que respeitam certas propriedades (como a adição e a multiplicação por escalar). Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora (ou sobrejetiva) e usar conceitos de dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação linear
é sobrejetora se todo ponto no espaço de chegada
tem pelo menos uma pré-imagem em
. Em outras palavras, o imagem de
precisa cobrir todo o espaço
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de
é
, o que significa que há
vetores que formam uma base para esse espaço. Para uma transformação linear
, o posto (ou rank) de
é o número máximo de vetores linearmente independentes na imagem de
.
Passo 4
Existe um teorema fundamental da álgebra linear chamado Teorema do Rango, que nos diz que:
No nosso caso, a dimensão do domínio é 3 (
) e a dimensão do contradomínio é 4 (
). Para que a transformação seja sobrejetora, o posto de
deve ser igual à dimensão do contradomínio, ou seja, 4.
Passo 5
Mas aqui temos um problema: o posto de
não pode ser maior que a dimensão do domínio. Ou seja,
Isso significa que o máximo que o posto de
pode ser é 3, o que é menor que a dimensão do contradomínio (4).
Resposta
Não, não é possível existir uma transformação linear sobrejetora
, pois o posto máximo da transformação é 3, que é menor que a dimensão do espaço de chegada, que é 4.