Responda as questões abaixo e justifique sua resposta.
É possível existir uma transformação linear sobrejetora T: R^3 R^4 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta se é possível existir uma transformação linear sobrejetora T: R^3 R^4 . Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares, que são funções entre espaços vetoriais que respeitam certas propriedades (como a adição e a multiplicação por escalar). Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma transformação ser sobrejetora (ou sobrejetiva) e usar conceitos de dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação sobrejetora. Uma transformação linear T: R^n R^m é sobrejetora se todo ponto no espaço de chegada R^m tem pelo menos uma pré-imagem em R^n . Em outras palavras, o imagem de T precisa cobrir todo o espaço R^m .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a dimensão dos espaços vetoriais. A dimensão de R^n é n , o que significa que há n vetores que formam uma base para esse espaço. Para uma transformação linear T: R^n R^m , o posto (ou rank) de T é o número máximo de vetores linearmente independentes na imagem de T .

Passo 4

Existe um teorema fundamental da álgebra linear chamado Teorema do Rango, que nos diz que:
dimensão do domínio = posto + nulidade ãí
No nosso caso, a dimensão do domínio é 3 ( R^3 ) e a dimensão do contradomínio é 4 ( R^4 ). Para que a transformação seja sobrejetora, o posto de T deve ser igual à dimensão do contradomínio, ou seja, 4.

Passo 5

Mas aqui temos um problema: o posto de T não pode ser maior que a dimensão do domínio. Ou seja,
posto de T <= dimensão do domínio = 3 ãí
Isso significa que o máximo que o posto de T pode ser é 3, o que é menor que a dimensão do contradomínio (4).

Resposta

Não, não é possível existir uma transformação linear sobrejetora T: R^3 R^4 , pois o posto máximo da transformação é 3, que é menor que a dimensão do espaço de chegada, que é 4.

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