Responda as questões abaixo e justifique sua resposta.
É possível existir uma transformação linear injetora
?
É possível existir uma transformação linear injetora
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é: É possível existir uma transformação linear injetora
? Vamos tratar dessa questão usando conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, injetividade e dimensões dos espaços envolvidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se você tiver dois vetores
e
em
e um escalar
, então:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre injetividade. Uma transformação é injetora se vetores distintos no espaço de partida são mapeados para vetores distintos no espaço de chegada. Em termos simples, não existe dois vetores diferentes em
que se transformem no mesmo vetor em
.
Passo 4
Para verificar se uma transformação linear
pode ser injetora, usamos o teorema do núcleo e imagem (ou teorema da dimensão). Ele nos diz que:
No nosso caso, o domínio tem dimensão 3 (
) e o contradomínio tem dimensão 2 (
).
Passo 5
Se
for injetora, então seu núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) só contém o vetor zero. Isso significa que:
Aplicando o teorema:
Passo 6
Mas aqui encontramos um problema: o contradomínio
só pode ter uma imagem de dimensão no máximo 2. Não é possível ter uma imagem de dimensão 3 dentro de
.
Passo 7
Portanto, não existe uma transformação linear de
para
que seja injetora, porque a dimensão da imagem necessária (3) excede a dimensão do espaço de chegada (2).
Resposta
Não, não existe uma transformação linear injetora de
para
.