Responda as questões abaixo e justifique sua resposta.
É possível existir uma transformação linear injetora T: R^3 R^2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: É possível existir uma transformação linear injetora T: R^3 R^2 ? Vamos tratar dessa questão usando conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, injetividade e dimensões dos espaços envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. Ou seja, se você tiver dois vetores u e v em R^3 e um escalar c , então:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(cu) = cT(u)

Passo 3

Agora, vamos falar sobre injetividade. Uma transformação é injetora se vetores distintos no espaço de partida são mapeados para vetores distintos no espaço de chegada. Em termos simples, não existe dois vetores diferentes em R^3 que se transformem no mesmo vetor em R^2 .

Passo 4

Para verificar se uma transformação linear T: R^3 R^2 pode ser injetora, usamos o teorema do núcleo e imagem (ou teorema da dimensão). Ele nos diz que:
dim(domínio) = dim(ima>=m) + dim(núc<=o) íú
No nosso caso, o domínio tem dimensão 3 ( R^3 ) e o contradomínio tem dimensão 2 ( R^2 ).

Passo 5

Se T for injetora, então seu núcleo (conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) só contém o vetor zero. Isso significa que:
dim(núc<=o) = 0 ú
Aplicando o teorema:
3 = dim(ima>=m) + 0 Rightarrow dim(ima>=m) = 3

Passo 6

Mas aqui encontramos um problema: o contradomínio R^2 só pode ter uma imagem de dimensão no máximo 2. Não é possível ter uma imagem de dimensão 3 dentro de R^2 .

Passo 7

Portanto, não existe uma transformação linear de R^3 para R^2 que seja injetora, porque a dimensão da imagem necessária (3) excede a dimensão do espaço de chegada (2).

Resposta

Não, não existe uma transformação linear injetora de R^3 para R^2 .

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