- Um pássaro parte em vôo retilíneo e horizontal do seu ninho para uma árvore distante 75m e volta, sem interromper o vôo, sobre a mesma trajetória.
Sabendo-se que sopra um vento de
na direção e sentido da árvore para o ninho e que o pássaro mantém, em relação à massa de ar, uma velocidade constante de
, determine, em segundos, o tempo gasto na trajetória de ida e volta.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, em segundos, o tempo gasto pelo pássaro na trajetória de ida e volta entre o ninho e a árvore (trajeto retilíneo, ida e volta sobre a mesma linha).
Informações fornecidas (peguei alguns dados do enunciado e da figura):
- Distância entre ninho e árvore:
. - Velocidade do vento:
, na direção e sentido da árvore para o ninho (ou seja, soprando do lado da árvore em direção ao ninho). - Velocidade do pássaro em relação à massa de ar (velocidade relativa ao ar):
. - O pássaro voa em linha reta e percorre ida e volta sem parar.
O que precisamos encontrar: tempo total da viagem ida + volta, em segundos.
Passo 2
Conceito usado (aula rápida e prática): velocidade relativa e soma vetorial de velocidades.
- A velocidade do pássaro em relação ao solo (velocidade em relação à terra) é a soma vetorial da velocidade do pássaro em relação ao ar com a velocidade do vento.
- Em notação vetorial:
Para este problema tudo se passa numa linha, então podemos tratar como escalares com sinal: escolhemos o sentido do ninho para a árvore como positivo. Assim:
- O vento vem da árvore para o ninho, ou seja, aponta no sentido negativo da nossa escolha; então
. - Na ida (ninho
árvore) o pássaro aponta para o sentido positivo, então sua velocidade em relação ao ar é . - Na volta (árvore
ninho) o pássaro aponta para o sentido negativo, então sua velocidade em relação ao ar é .
Fórmula para tempo quando a velocidade é constante numa etapa:
onde
é a distância percorrida (m) e
é a velocidade escalar em relação ao solo (m/s).
Passo 3
Calcular a velocidade do pássaro em relação ao solo na ida.
Usando a soma escalar:
Usando a soma escalar:
Interpretando: o vento é contrário ao movimento de ida, reduzindo a velocidade sobre o solo para
.
Passo 4
Calcular o tempo da ida usando
.
Passo 5
Calcular a velocidade do pássaro em relação ao solo na volta.
Agora o pássaro voa no mesmo sentido do vento (ambos em direção ao ninho), então a velocidade sobre o solo é:
Agora o pássaro voa no mesmo sentido do vento (ambos em direção ao ninho), então a velocidade sobre o solo é:
ou, mantendo sinais da convenção,
ou seja, velocidade de módulo
no sentido do ninho.
Passo 6
Calcular o tempo da volta:
Passo 7
Expressar o tempo total como soma dos tempos das etapas: