Passe para coordenadas polares e calcule:
I=integral0^1 integral1-raiz1-y^2^1+raiz1-y^2 x y d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I=integraly=0^1integralx=,1-raiz1-y^2^,1+raiz1-y^2x,y,dx,dy
e pede para calcular passando a região de integração para coordenadas polares. Aqui o conteúdo é mudança de variável em integrais duplas e uso do Jacobiano r.

Passo 2

Vamos descrever a região D em que integramos. A condição
1-raiz1-y^2<= x<= 1+raiz1-y^2, 0<= y<=1
é exatamente o semicírculo centrado em (1,0) de raio 1, acima do eixo x. Ou seja,
D=l(x,y)mid (x-1)^2+y^2<=1,;y>=0r

Passo 3

Em coordenadas polares definimos
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta
A condição (x-1)^2+y^2<=1 vira
(rcostheta-1)^2+(rsintheta)^2<=1 ;Longrightarrow; r<= 2costheta,
desde que costheta>=0. Como y>=0, temos thetain[0,pi/2]. Logo em polares:
0<=theta<=pi2, 0<= r<=2costheta

Passo 4

Substituindo x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano, a integral fica
I=integraltheta=0^pi/2integralr=0^2costheta(rcostheta)(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pi/2integral0^2costhetar^3costhetasintheta,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos primeiro a integral em r:
integral0^2costhetar^3,dr =r^44|0^2costheta =(2costheta)^44 =4cos^4theta
Assim
I=4integral0^pi/2cos^4theta;costhetasintheta,dtheta =4integral0^pi/2cos^5thetasintheta,dtheta
Fazendo u=costheta, du=-sintheta,dtheta, os limites vão de u(0)=1 a u(pi/2)=0, então
I=4integralu=1^0u^5(-du) =4integral0^1u^5du =4cdot16 =23

Resposta

I=23

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