Seja dada a integral dupla
- Esboce a região D.
- Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma só integral na qual a ordem de integração esteja invertida.
- Calcule a integral dupla para a função
.
Passo 1
O enunciado nos dá a região
no plano
definida por duas integrais:
O que vamos precisar:
– interpretar geometricamente os limites de integração para esboçar ,
– trocar a ordem de integração construindo novos limites,
– e, para a função , usar coordenadas polares para calcular a integral.
– interpretar geometricamente os limites de integração para esboçar
– trocar a ordem de integração construindo novos limites,
– e, para a função
Passo 2
A região
é a união de
- para
, o segmento vertical de até (triângulo sob ); - para
, o segmento de até (abaixo do arco de círculo ).
Assim,é limitada pelo eixo de a , pelo segmento de reta de a e pelo arco de círculo de a .
Passo 3
Para inverter a ordem, observamos que
varia de
até
, e para cada
fixo o
vai do lado esquerdo da reta
até o círculo
. Logo,
Passo 4
Agora
. Em coordenadas polares
,
, o jacobiano é
, e
vira
Então
Fazendo
,
, quando
vem
e
vem
, obtemos
Multiplicando pelo integral em
,
chegamos ao valor final
Resposta
-
é a região limitada pelo eixo de a , pela reta de a e pelo arco de círculo de a . -
-