Seja dada a integral dupla
integral duplaD f(x, y) d x d y=integral0^1 integral0^x f(x, y) d y d x+integral1^raiz2 integral0^raiz2-x^2 f(x, y) d y d x
  1. Esboce a região D.
  2. Expresse a soma das integrais do segundo membro como uma só integral na qual a ordem de integração esteja invertida.
  3. Calcule a integral dupla para a função f(x, y)=ln (1+x^2+y^2).

Passo 1

O enunciado nos dá a região D no plano xy definida por duas integrais:
integral duplaDf(x,y),dx,dy =integral0^1!integral0^xf(x,y),dy,dx +integral1^raiz2!integral0^raiz2-x^2f(x,y),dy,dx
O que vamos precisar:
– interpretar geometricamente os limites de integração para esboçar D,
– trocar a ordem de integração construindo novos limites,
– e, para a função f(x,y)=lnl(1+x^2+y^2r), usar coordenadas polares para calcular a integral.

Passo 2

A região D é a união de
  1. para 0<= x<=1, o segmento vertical de y=0 até y=x (triângulo sob y=x);
  2. para 1<= x<=raiz2, o segmento de y=0 até y=raiz2-x^2 (abaixo do arco de círculo x^2+y^2=2).
    Assim, D é limitada pelo eixo x de (0,0) a (raiz2,0), pelo segmento de reta de (0,0) a (1,1) e pelo arco de círculo de (1,1) a (raiz2,0).

Passo 3

Para inverter a ordem, observamos que y varia de 0 até 1, e para cada y fixo o x vai do lado esquerdo da reta x=y até o círculo x^2+y^2=2. Logo,
integral duplaDf(x,y),dx,dy =integraly=0^1!integralx=y^raiz2 - y^2f(x,y),dx,dy

Passo 4

Agora !f(x,y)=lnl(1+x^2+y^2r). Em coordenadas polares x=rcostheta, y=rsintheta, o jacobiano é r, e D vira
0<=theta<=pi4, 0<= r<=raiz2
Então
integral duplaDlnl(1+x^2+y^2r),dx,dy =integral0^pi4!integral0^raiz2lnl(1+r^2r),r,dr,dtheta
Fazendo u=1+r^2, du=2r,dr, quando r=0 vem u=1 e r=raiz2 vem u=3, obtemos
integral0^raiz2rlnl(1+r^2r),dr =12integral1^3ln(u),du =12l[uln u - ur]1^3 =12l(3ln3 - 2r)
Multiplicando pelo integral em theta,
integral0^pi4dtheta =pi4,
chegamos ao valor final
integral duplaDlnl(1+x^2+y^2r),dx,dy =pi4,12l(3ln3 - 2r) =pi8l(3ln3 - 2r)

Resposta

  1. D é a região limitada pelo eixo x de (0,0) a (raiz2,0), pela reta y=x de (0,0) a (1,1) e pelo arco de círculo x^2+y^2=2 de (1,1) a (raiz2,0).
  2. integral duplaDf(x,y),dx,dy =integral0^1!integraly^raiz2-y^2f(x,y),dx,dy
  3. integral duplaDlnl(1+x^2+y^2r),dx,dy =pi8l(3ln3 - 2r)

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