Passe para coordenadas polares e calcule:
integral0^1 integralx^2^raiz2-x^2 raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral0^1!integralx^2^raiz2 - x^2raizx^2+y^2;dy;dx
usando coordenadas polares.
Conteúdo: transformação para (r,theta), identificação da região R em polares e cálculo do integral com Jacobiano.

Passo 2

Fazendo a mudança
x = rcostheta, y = rsintheta,
temos raizx^2+y^2=r e o elemento de área
dx,dy = r,dr,dtheta
Logo o integrando fica rcdot r,dr,dtheta = r^2,dr,dtheta.

Passo 3

A região R é dada por
0<= x<=1, x^2<= y<= raiz2 - x^2, y>=0
Em coordenadas polares isso vira as desigualdades:
y>= x^2;Longrightarrow;rsintheta >= r^2cos^2theta ;Longrightarrow;r <= sinthetacos^2theta,
y<= raiz2 - x^2;Longrightarrow;r<= raiz2,
x<=1;Longrightarrow;r<= 1costheta,
além de x>=0,y>=0Rightarrow thetain[0,tfracpi2].
Portanto
R=l(r,theta)colon 0<=theta<=tfracpi2,;0<= r<= minl(tfracsinthetacos^2theta,;tfrac1costheta,;raiz2r)r

Passo 4

Para decidir qual é o menor entre tfracsinthetacos^2theta, tfrac1costheta e raiz2, nota-se:
  • Em theta=tfracpi4 temos
    sinthetacos^2theta=1, 1costheta=raiz2
  • Para theta<tfracpi4, sinthetacos^2theta<1costheta<raiz2.
  • Para theta>tfracpi4, sinthetacos^2theta>raiz2 e tfrac1costheta>raiz2.
Logo dividimos o integral em dois pedaços:
integral0^1!integralx^2^raiz2 - x^2raizx^2+y^2,dy,dx =integral0^pi/4!integral0^sinthetacos^2thetar^2,dr,dtheta +integralpi/4^pi/2!integral0^raiz2r^2,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos separadamente
I1 = integral0^pi/4!integral0^sinthetacos^2thetar^2,dr,dtheta =integral0^pi/413l(sinthetacos^2thetar)^3dtheta =13integral0^pi/4sin^3thetacos^6theta,dtheta
Usando sin^3theta=sintheta(1-cos^2theta) e a substituição u=costheta, du=-sintheta,dtheta, obtemos
I1 =13integralu=1^u=1raiz2l(u^-6-u^-4r)(-du) =13l[tfrac15u^-5-tfrac13u^-3r]1^1/raiz2 =2(raiz2+1)45
O segundo é imediato:
I2 = integralpi/4^pi/2!integral0^raiz2r^2,dr,dtheta =integralpi/4^pi/2(raiz2)^33,dtheta =2raiz23l(pi2-pi4r) =piraiz26
Somando I1+I2 dá o valor final.

Resposta

integral0^1!integralx^2^raiz2 - x^2raizx^2+y^2,dy,dx =2,(raiz2+1)45+piraiz26

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