Passe para coordenadas polares e calcule:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
usando coordenadas polares.
Conteúdo: transformação para , identificação da região
em polares e cálculo do integral com Jacobiano.
Conteúdo: transformação para
Passo 2
Fazendo a mudança
temos
e o elemento de área
Logo o integrando fica
.
Passo 3
A região
é dada por
Em coordenadas polares isso vira as desigualdades:
além de
.
Portanto
Portanto
Passo 4
Para decidir qual é o menor entre
,
e
, nota-se:
- Em
temos
- Para
, . - Para
, e .
Logo dividimos o integral em dois pedaços:
Passo 5
Calculemos separadamente
Usando
e a substituição
,
, obtemos
O segundo é imediato:
Somando
dá o valor final.