Resolva a integral:
integral tg^3(ln x) sec ^6(ln x)x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral tan^3(ln x),sec^6(ln x)x,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, usando a mudança de variável ,t=ln x, pois aparece ln x dentro das funções trigonométricas e um fator 1/x no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = ln x, dt = dxx
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integral tan^3(ln x),sec^6(ln x)x,dx = integral tan^3t,sec^6t,dt

Passo 3

Reescrevemos tan^3t como tan^2tcdottan t e usamos a identidade tan^2t = sec^2t - 1. Assim
tan^3t,sec^6t = (sec^2t - 1),tan t,sec^6t = tan t,sec^8t ;-;tan t,sec^6t

Passo 4

Separamos a integral em duas partes:
integral tan^3t,sec^6t,dt = integral tan t,sec^8t,dt - integral tan t,sec^6t,dt
Em cada uma usamos a substituição u = sec t, com du = sec t,tan t,dt.

Passo 5

Para a primeira integral:
integral tan t,sec^8t,dt = integral sec^7tl(sec t,tan t,dtr) = integral u^7,du = u^88 = sec^8t8
Para a segunda:
integral tan t,sec^6t,dt = integral sec^5tl(sec t,tan t,dtr) = integral u^5,du = u^66 = sec^6t6

Passo 6

Juntando os resultados e voltando a x pela substituição t=ln x, obtemos
integral tan^3(ln x),sec^6(ln x)x,dx = sec^8(ln x)8 - sec^6(ln x)6 + C

Resposta

sec^8(ln x)8 - sec^6(ln x)6 + C

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