Passe para coordenadas polares e calcule:
integral duplaB x y d x d y onde B é o círculo x^2+y^2-2 y <= 0.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
integral duplaB x,y,dx,dy
onde B é o disco dado por
x^2+y^2-2y<=0
O conteúdo que vamos usar inclui mudança para coordenadas polares, identificação dos limites em (r,theta) e o uso do jacobiano r.

Passo 2

Vamos entender a região B. Note que
x^2+y^2-2y = x^2+(y-1)^2-1<=0
é o disco de centro (0,1) e raio 1. Em coordenadas polares usuais ( x=rcostheta, y=rsintheta) a desigualdade fica
r^2-2rsintheta<=0 Longrightarrow rl(r-2sinthetar)<=0
Como r>=0, isso dá
0<= r<=2sintheta,
e ainda é preciso ter sintheta>=0, ou seja
0<=theta<=pi

Passo 3

Escrevendo a integral em coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta,
temos
integral duplaB x,y,dx,dy = integraltheta=0^piintegralr=0^2sintheta (rcostheta)(rsintheta);r,dr,dtheta = integral0^piintegral0^2sinthetar^3costhetasintheta,dr,dtheta
No passo interno,
integral0^2sinthetar^3,dr =14l(2sinthetar)^4 =4sin^4theta,
logo a integral vira
integral0^pi4,sin^4theta;costhetasintheta,dtheta =4integral0^pisin^5thetacostheta,dtheta

Passo 4

Para calcular
integral0^pisin^5thetacostheta,dtheta,
use u=sintheta, du=costheta,dtheta. Quando theta vai de 0 a pi, u vai de 0 a 0, então
integral0^pisin^5thetacostheta,dtheta =integralu=0^0u^5,du =0
Portanto
integral duplaBx,y,dx,dy =4cdot0 =0

Resposta

0

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