Passe para coordenadas polares e calcule:
9.8) integral0^a integral0^x raizx^2+y^2 d y d x,(a>0).

Passo 1

Este exercício pede para calcular integral0^aintegral0^xraizx^2+y^2,dy,dx usando coordenadas polares. O conteúdo da matéria envolve mudança de variável para coordenadas polares, o uso do jacobiano e integração de funções trigonométricas.

Passo 2

O domínio original é D=(x,y):0<= y<= x<= a. Em coordenadas polares, onde x=rcostheta e y=rsintheta, as condições ficam:
0<=theta<=pi4, 0<= r<=acostheta
Portanto
D=(r,theta):0<=theta<=pi/4,;0<= r<= a/costheta

Passo 3

Reescrevendo a integral em polares, lembrando que raizx^2+y^2=r e o jacobiano é r, o integrando fica rcdot r=r^2. Assim:
I=integral0^pi/4integral0^a/costhetar^2,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^a/costhetar^2,dr=l[tfracr^33r]0^a/costheta=a^33sec^3theta
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I=a^33integral0^pi/4sec^3theta,dtheta

Passo 5

Para integrar sec^3theta, usamos a primitiva conhecida:
integralsec^3theta,dtheta=12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r)+C

Passo 6

Avalia-se de 0 a pi/4 e simplifica:
I=a^33l[tfrac12(secthetatantheta+ln(sectheta+tantheta))r]0^pi/4 =a^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

Passo 7

Portanto, o valor final da integral é dado por dfraca^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r).

Resposta

a^36l(raiz2+ln(raiz2+1)r)

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