1.4. Passeio Turístico: Em determinados pontos turísticos pessoas são transportadas de um monte a outro através bondes pendurados em cabos de aço. Considere um cabo de aço de 400 m de comprimento e diâmetro igual a 3 cm , que sustenta um bonde de
. Sabendo que o cabo pode sofrer um alongamento máximo de
de seu comprimento inicial, sem se romper, e que os dois montes têm a mesma altura, qual deve ser a quantidade máxima de pessoas transportadas no bonde? Faça uma análise da situação considerando o bonde no ponto médio do cabo, que cada segmento do cabo forma um ângulo de
com uma linha horizontal que liga os dois montes e que cada pessoa possui uma massa de 70 kg . O módulo de elasticidade de Young do aço é
.
Passo 1
O problema trata de um cabo de aço de comprimento total
,m e diâmetro
,cm que sustenta um bonde de massa
,kg. O cabo pode alongar-se no máximo
de seu comprimento sem romper, e tem módulo de Young
,N/m
. Os dois trechos do cabo formam ângulo de
com a horizontal e supomos o bonde no ponto médio. Cada pessoa tem massa
,kg. Vamos achar quantas pessoas cabem antes de atingir o alongamento limite.
Passo 2
Primeiro calculamos a tração
em cada segmento quando o sistema está em equilíbrio. A força peso total é
e suas componentes verticais são sustentadas pelos dois segmentos:
Como
, isso dá
Ou seja,
Passo 3
O alongamento máximo permitido é
Cada segmento tem comprimento inicial
,m, área de seção
e sofre alongamento
Como há dois segmentos, o alongamento total é
Passo 4
Substituindo números,
Passo 5
Da tensão máxima obtemos a massa total máxima suportada:
Como o bonde já pesa
,kg, já excede esse limite mesmo sem passageiros. Logo não é possível acrescentar nenhum passageiro sem romper o cabo.
Resposta
Não é possível transportar nenhuma pessoa; a massa do bonde já excede o limite de alongamento do cabo.