1.4. Passeio Turístico: Em determinados pontos turísticos pessoas são transportadas de um monte a outro através bondes pendurados em cabos de aço. Considere um cabo de aço de 400 m de comprimento e diâmetro igual a 3 cm , que sustenta um bonde de 2 \times 10^{3} \mathrm{~kg}. Sabendo que o cabo pode sofrer um alongamento máximo de 0,1 \% de seu comprimento inicial, sem se romper, e que os dois montes têm a mesma altura, qual deve ser a quantidade máxima de pessoas transportadas no bonde? Faça uma análise da situação considerando o bonde no ponto médio do cabo, que cada segmento do cabo forma um ângulo de 30^{\circ} com uma linha horizontal que liga os dois montes e que cada pessoa possui uma massa de 70 kg . O módulo de elasticidade de Young do aço é 2 \times 10^{10} \mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O problema trata de um cabo de aço de comprimento total L_{\rm cabo}=400,m e diâmetro d=3,cm que sustenta um bonde de massa M_{\rm bonde}=2\times10^3,kg. O cabo pode alongar-se no máximo 0{,}1\% de seu comprimento sem romper, e tem módulo de Young E=2\times10^{10},N/m ^2. Os dois trechos do cabo formam ângulo de 30^\circ com a horizontal e supomos o bonde no ponto médio. Cada pessoa tem massa m_p=70,kg. Vamos achar quantas pessoas cabem antes de atingir o alongamento limite.

Passo 2

Primeiro calculamos a tração T em cada segmento quando o sistema está em equilíbrio. A força peso total é
F_g = (M_{\rm bonde} + N\,m_p)\,g,
e suas componentes verticais são sustentadas pelos dois segmentos:
2\,T\sin30^\circ = F_g.
Como \sin30^\circ = 0{,}5, isso dá
T = \frac{F_g}{2\cdot0{,}5} = F_g.
Ou seja,
T = (M_{\rm bonde} + N\,m_p)\,g.

Passo 3

O alongamento máximo permitido é
\Delta L_{\max} = 0{,}001 \,L_{\rm cabo} = 0{,}001\times400 = 0{,}4\text{ m}.
Cada segmento tem comprimento inicial L_{\rm seg}=200,m, área de seção
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi(0{,}03)^2}{4}\approx0{,}0007069\text{ m}^2,
e sofre alongamento
\Delta L_{\rm seg} = \frac{T\,L_{\rm seg}}{A\,E}.
Como há dois segmentos, o alongamento total é
2\,\Delta L_{\rm seg} = 2\,\frac{T\,L_{\rm seg}}{A\,E} \le \Delta L_{\max}.

Passo 4

Substituindo números,
2\,\frac{T\,(200)}{(0{,}0007069)(2\times10^{10})} \le 0{,}4
\frac{400\,T}{1{,}4138\times10^7} \le 0{,}4 \quad\Longrightarrow\quad T \le \frac{0{,}4\times1{,}4138\times10^7}{400} \approx1{,}4137\times10^4\text{ N}.

Passo 5

Da tensão máxima obtemos a massa total máxima suportada:
M_{\max} = \frac{T_{\max}}{g} \approx \frac{1{,}4137\times10^4}{9{,}8} \approx1{,}44\times10^3\text{ kg}.
Como o bonde já pesa 2\times10^3,kg, já excede esse limite mesmo sem passageiros. Logo não é possível acrescentar nenhum passageiro sem romper o cabo.

Resposta

Não é possível transportar nenhuma pessoa; a massa do bonde já excede o limite de alongamento do cabo.

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