Paulo propōe a aplicar, no final de cada mês, durante 100 meses, parcelas iguais de \ 1.000,00 . Determinar a que taxa anual deverão ser feitas essas aplicações para que ele tenhaãçõ$607.287,73 no final do100^{\circ}$ mês.

Passo 1

O enunciado diz que o Paulo vai depositar, ao final de cada mês, R=\$1\,000 durante n=100 meses, e quer que o valor acumulado seja FV=\$607\,287,73. O conteúdo aqui é cálculo de valor futuro de uma anuidade-imediata, e vamos precisar da fórmula
FV \;=\; R \,\frac{(1+i)^{n}-1}{i}
em que i é a taxa de juros por período (mês).

Passo 2

Substituindo R, n e FV na fórmula, obtemos a equação em i:
1000\;\frac{(1+i)^{100}-1}{i} \;=\; 607287{,}73.

Passo 3

Precisamos resolver numericamente
f(i) = 1000\;\frac{(1+i)^{100}-1}{i} - 607287{,}73 = 0.
Uma boa estratégia é usar o método da bisseção ou tentativa e erro:
  1. Chute inicial: se i=0{,}03 (3 % ao mês),
(1{,}03)^{100}\approx19{,}218 \quad\Longrightarrow\quad 1000\;\frac{19{,}218-1}{0{,}03}\approx607270,
bem próximo de 607287,73.

Passo 4

Refinando o chute, encontramos
i\approx0{,}030002\quad\text{(mensal)},
pois com esse valor o lado esquerdo fica praticamente igual a 607287,73.

Passo 5

Agora convertemos i para taxa anual. Se quisermos a taxa nominal anual com capitalização mensal, basta multiplicar por 12:
j_{\text{nom}}=12\cdot i\approx12\times0{,}030002=0{,}36002 \quad\bigl(36{,}002\%\text{ ao ano, nominal}\bigr).
Se preferirmos a taxa efetiva anual, usamos
j_{\text{eff}} = (1+i)^{12}-1 \approx(1{,}030002)^{12}-1 \approx0{,}4258 \quad\bigl(42{,}58\%\text{ ao ano, efetiva}\bigr).

Resposta

A taxa mensal que resolve o problema é aproximadamente i=0{,}030002 (3,0002 % ao mês).
Em termos anuais:
36,00 % ao ano (taxa nominal capitalizada mensalmente),
ou 42,58 % ao ano (taxa efetiva).

Exercícios relacionados