Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em uma sorveteria que possui três sabores de sorvete: chocolate, morango e uva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?

Passo 1

O enunciado diz que Paulo vai escolher 4 bolas de sorvete entre 3 sabores (chocolate, morango e uva), permitindo repetições e sem considerar ordem. O conteúdo aqui é combinação com repetição, que modela a distribuição de k objetos idênticos em n categorias distintas.

Passo 2

Para formalizar, definimos as variáveis
x_C,\,x_M,\,x_U
como o número de bolas de chocolate, morango e uva, respectivamente. Temos a restrição
x_C + x_M + x_U = 4,
com x_C,x_M,x_U\ge0 inteiros.

Passo 3

A teoria das combinações com repetição diz que o número de soluções não negativas dessa equação é
\binom{n+k-1}{k},
onde n é o número de categorias 3 e k é o número de objetos 4.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
\binom{3+4-1}{4} = \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6\cdot5}{2\cdot1} = 15.

Resposta

15

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