Quantos são os anagramas da palavra MATEMATICA supondo que:
(a) não têm restrições;
(b) começam por vogal;
(c) começam por consoante e terminam por vogal;

Passo 1

O enunciado pede o número de anagramas da palavra MATEMATICA (10 letras) em três casos: sem restrição, começando por vogal e começando por consoante e terminando por vogal. As letras repetidas são A (3 vezes), M (2 vezes) e T (2 vezes), e as demais (E, I, C) aparecem uma vez cada. Para contar anagramas de um multiconjunto usamos a fórmula
\frac{n!}{n_{1}!\,n_{2}!\,\dots}
onde n é o total de letras e n_{i} as multiplicidades.

Passo 2

Sem restrição, temos n=10 letras com repetições 3,2,2. Logo
\text{Total} = \frac{10!}{3!\,2!\,2!} = \frac{3628800}{6\cdot2\cdot2} =151200.

Passo 3

Para anagramas que começam por vogal, note que há 5 vogais no total (A, A, A, E, I) em 10 letras. Como posição inicial é “aleatória” entre as 10, a fração de arranjos com vogal na frente é
\frac{5}{10}
e assim o total é
151200 \times \frac{5}{10} =75600.

Passo 4

Para começar por consoante e terminar por vogal, a probabilidade de escolher consoante em primeiro lugar é \tfrac{5}{10} (M,M,T,T,C) e depois, entre as 9 restando, há 5 vogais, então a chance de terminar em vogal é \tfrac{5}{9}. Logo o total é
151200 \times \frac{5}{10}\times\frac{5}{9} =151200\times\frac{5}{18} =42000.

Resposta

(a) 151200
(b) 75600
(c) 42000

Exercícios relacionados