Uma peça metálica é lançada em uma bancada de testes, posicionada no solo, com velocidade inicial de 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} formando um ângulo de 30,0^{\circ} com a horizontal. Determine:
a) O tempo que a peça atinge o solo novamente.
b) O alcance horizontal.
c) A altura máxima atingida.

Passo 1

O enunciado descreve um lançamento oblíquo de uma peça com velocidade inicial \,v_0=15,0\mathrm{\,m/s} formando ângulo \theta=30,0^\circ com a horizontal. O conteúdo envolvido é cinemática de projétil (movimento uniformemente variado na vertical e uniforme na horizontal). Vamos precisar:
  1. Decompor \,v_0 em componentes horizontal ( v_{0x}) e vertical ( v_{0y}).
  2. Usar as fórmulas para tempo de voo, alcance horizontal e altura máxima.

Passo 2

Decomposição de \,v_0 em componentes:
Temos a componente horizontal de \,v_0 no eixo x. Pela definição de cosseno:
v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 15,0\cos(30,0^\circ) \approx 12,99\mathrm{\,m/s}.
Temos a componente vertical de \,v_0 no eixo y. Pela definição de seno:
v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 15,0\sin(30,0^\circ) = 7,50\mathrm{\,m/s}.

Passo 3

Cálculo do tempo de voo T. No eixo vertical, a posição final volta a ser a do lançamento ( \Delta y=0), então:
0 = v_{0y}\,T - \tfrac12\,g\,T^2
Isso dá duas soluções, T=0 (início) e
T = \frac{2\,v_{0y}}{g}
Substituindo v_{0y}=7,50\mathrm{\,m/s} e g=9,8\mathrm{\,m/s^2}:
T = \frac{2\cdot7,50}{9,8} \approx 1,53\mathrm{\,s}.

Passo 4

Cálculo do alcance horizontal R. No eixo x o movimento é uniforme, logo
R = v_{0x}\,T.
Substituindo v_{0x}\approx12,99\mathrm{\,m/s} e T\approx1,53\mathrm{\,s}:
R \approx 12,99 \times 1,53 \approx 19,9\mathrm{\,m}.

Passo 5

Cálculo da altura máxima H. No instante de altura máxima a velocidade vertical é zero, e
H = \frac{v_{0y}^2}{2\,g}.
Substituindo v_{0y}=7,50\mathrm{\,m/s} e g=9,8\mathrm{\,m/s^2}:
H = \frac{(7,50)^2}{2\cdot9,8} = \frac{56,25}{19,6} \approx 2,87\mathrm{\,m}.

Resposta

a) 1,53\mathrm{\,s}
b) 19,9\mathrm{\,m}
c) 2,87\mathrm{\,m}

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