Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.
b) Em um determinado dia, n peças foram sorteadas e seu comprimento foi obtido, sendo n o valor obtido no item anterior. Sabendo que a média amostral obtida foi de 23,1 milímetros, obtenha uma estimativa intervalar para a verdadeira média das peças produzidas pela Qualipeçauto naquele dia com 98% de confiança. Interprete o intervalo obtido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a produção de peças automotivas que devem ter um comprimento médio de 23 milímetros, com um desvio padrão máximo de 0,2 milímetros. A empresa está conseguindo manter o desvio padrão em 0,15 milímetros, mas às vezes o comprimento médio das peças pode variar. Para garantir a qualidade, eles selecionam uma amostra aleatória de $ n $ peças e verificam o comprimento delas.
No item b), em um certo dia, foi tirada uma amostra de $ n $ peças cujo valor de $ n $ já foi obtido no item anterior, e a média amostral foi de 23,1 milímetros. Nosso objetivo aqui é calcular um intervalo de confiança de 98% para a verdadeira média das peças produzidas naquele dia e interpretar esse intervalo.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre intervalo de confiança para a média e como calcular esse intervalo usando a distribuição normal, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
IC = barx pm Zalpha/2 ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média amostral.
  • Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.
No nosso caso:
  • barx = 23,1 mm
  • sigma = 0,15 mm
  • O nível de confiança é 98%, então alpha = 0,02 e alpha/2 = 0,01. Precisamos encontrar o valor de Z0,01 na tabela da distribuição normal, que é aproximadamente 2,326.

Passo 3

Agora, substituímos os valores na fórmula:
Erro padrão = sigmaraizn = 0,15raizn ã
Mar>=m de erro = Zalpha/2 times Erro padrão = 2,326 times 0,15raizn ã
IC = 23,1 pm 2,326 times 0,15raizn
Esse intervalo nos dá os limites inferior e superior onde a verdadeira média da população provavelmente se encontra com 98% de confiança.

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a verdadeira média das peças produzidas naquele dia é:
23,1 pm 2,326 times 0,15raizn milímetros í
Isso significa que estamos 98% confiantes de que a média real do comprimento das peças produzidas está entre 23,1 - 2,326 times 0,15raizn e 23,1 + 2,326 times 0,15raizn milímetros.

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