Uma das peças automotivas produzidas pela Qualipeçauto deve ter comprimento com média de 23 milímetros e desvio padrão de no máximo 0,2 milímetros. A empresa tem conseguido manter o desvio padrão do comprimento das peças em 0,15 milímetros, mas algumas vezes problemas no processo de produção fazem com que as peças não sejam produzidas com o comprimento médio especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa, seleciona periodicamente uma amostra aleatória de n peças produzidas e verifica o comprimento dessas peças.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está nos pedindo. A Qualipeçauto produz peças automotivas que devem ter um comprimento médio de 23 milímetros, com um desvio padrão no máximo de 0,2 milímetros. Até agora, a empresa está conseguindo manter o desvio padrão em 0,15 milímetros, o que é ótimo! Porém, às vezes, problemas no processo de produção fazem com que o comprimento médio das peças saia do valor especificado. Para evitar reclamações, a área de qualidade da empresa decide selecionar uma amostra aleatória de n peças produzidas periodicamente e verificar o comprimento delas.
Conteúdo da matéria: Estatística, especificamente amostragem e estimativa de parâmetros populacionais.
O que vamos precisar para resolver: Vamos precisar entender conceitos de média, desvio padrão, distribuição amostral da média, erro padrão, e como calcular o tamanho da amostra (n) necessário para garantir que a média amostral esteja dentro de um intervalo de confiança aceitável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa manter o comprimento médio das peças. A média populacional desejada é de 23 milímetros. Quando a produção está perfeita, a média das peças produzidas está exatamente em 23 mm. Porém, problemas no processo podem fazer com que essa média mude.
Teoria aplicada: Queremos estimar a média populacional a partir de uma amostra. Quanto maior a amostra, mais precisa será a estimativa da média.

Passo 3

Sabemos que o desvio padrão populacional é de 0,15 milímetros. Esse valor nos diz quão dispersos os comprimentos das peças estão em torno da média. Um desvio padrão menor indica que as peças são mais consistentes em tamanho.
Teoria aplicada: O desvio padrão da média amostral (erro padrão) é calculado como o desvio padrão populacional dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n).
A fórmula é:
sigmabarx = sigmaraizn

Passo 4

Vamos supor que a empresa queira que a média das peças na amostra esteja dentro de um certo intervalo em torno dos 23 milímetros, com um nível de confiança específico. Por exemplo, suponha que eles queiram que a média amostral esteja dentro de ±0,1 milímetros da média populacional com 95% de confiança.
Teoria aplicada: Para determinar o tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula do intervalo de confiança para a média:
barx pm z times sigmaraizn = Intervalo desejado
Onde:
  • $ z $ é o valor z correspondente ao nível de confiança (para 95%, $ z \approx 1,96 $)
  • $ \sigma $ é o desvio padrão populacional
  • $ n $ é o tamanho da amostra

Passo 5

Vamos reorganizar a fórmula para resolver para n:
E = z times sigmaraizn
Onde $ E $ é a margem de erro (no nosso exemplo, 0,1 mm).
Rearranjando para n:
E

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula. Usando nosso exemplo:
n = ( 1,96 times 0,150,1 )^2
Calculando o numerador:
1,96 times 0,15 = 0,294
Dividindo pelo erro:
0,2940,1 = 2,94
Elevando ao quadrado:
n = (2,94)^2 approx 8,64
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n = 9

Resposta

Para garantir que a média das peças esteja dentro de ±0,1 milímetros dos 23 milímetros com 95% de confiança, a empresa precisa selecionar uma amostra de 9 peças.

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