O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído com desvio padrão de 3 . Os últimos cinco dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. Encontre um intervalo com
de confiança para o rendimento médio verdadeiro. Interprete o intervalo obtido. Qual a margem de erro desse intervalo de confiança? Se quisermos reduzir essa margem de erro em
, qual o tamanho amostral necessário?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos lidando com estatística, especificamente com intervalo de confiança para a média de um processo químico. O que a gente precisa fazer é calcular um intervalo que, com 95% de certeza, contenha o rendimento médio verdadeiro desse processo. Para isso, vamos usar a distribuição normal e algumas fórmulas básicas de estatística.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média amostral dos rendimentos dos últimos cinco dias. Isso é importante porque a média amostral é o nosso melhor palpite para a média verdadeira.
Então, a média amostral é 90,28%.
Passo 3
Sabemos que o desvio padrão da população (
) é 3%. Como a amostra é pequena (n=5) e conhecemos o desvio padrão da população, podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança.
Passo 4
Para um intervalo de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico
que corresponde a essa confiança. Sabemos que
para 95%.
Passo 5
Agora, vamos calcular a margem de erro (
) usando a fórmula:
Passo 6
Com a margem de erro, podemos determinar o intervalo de confiança:
Isso nos dá:
Passo 7
Interpretação: Estamos 95% confiantes de que o rendimento médio verdadeiro do processo químico está entre 87,65% e 92,91%.
Passo 8
A margem de erro desse intervalo é de 2,63 pontos percentuais.
Passo 9
Se quisermos reduzir a margem de erro em 50%, ela passaria a ser:
Para encontrar o novo tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula rearranjada:
Então, precisamos arredondar para cima, pois não podemos ter uma fração de observação.
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para o rendimento médio verdadeiro está entre 87,65% e 92,91%. A margem de erro desse intervalo é de 2,63 pontos percentuais. Para reduzir essa margem de erro em 50%, o tamanho amostral necessário é de 20 observações.