O rendimento de um processo químico está sendo estudado. De experiências prévias com esse processo, sabe-se que o rendimento é normalmente distribuído com desvio padrão de 3 . Os últimos cinco dias de operação da planta resultaram nos seguintes rendimentos percentuais: 91,6; 88,75; 90,8; 89,95 e 91,3. Encontre um intervalo com 95 % de confiança para o rendimento médio verdadeiro. Interprete o intervalo obtido. Qual a margem de erro desse intervalo de confiança? Se quisermos reduzir essa margem de erro em 50 %, qual o tamanho amostral necessário?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, estamos lidando com estatística, especificamente com intervalo de confiança para a média de um processo químico. O que a gente precisa fazer é calcular um intervalo que, com 95% de certeza, contenha o rendimento médio verdadeiro desse processo. Para isso, vamos usar a distribuição normal e algumas fórmulas básicas de estatística.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média amostral dos rendimentos dos últimos cinco dias. Isso é importante porque a média amostral é o nosso melhor palpite para a média verdadeira.
barx = 91,6 + 88,75 + 90,8 + 89,95 + 91,35 = 451,45 = 90,28
Então, a média amostral é 90,28%.

Passo 3

Sabemos que o desvio padrão da população ( sigma) é 3%. Como a amostra é pequena (n=5) e conhecemos o desvio padrão da população, podemos usar a distribuição normal para calcular o intervalo de confiança.

Passo 4

Para um intervalo de confiança de 95%, precisamos encontrar o valor crítico Z que corresponde a essa confiança. Sabemos que Z = 1,96 para 95%.

Passo 5

Agora, vamos calcular a margem de erro ( E) usando a fórmula:
E = Z times sigmaraizn = 1,96 times 3raiz5 approx 1,96 times 1,34 approx 2,63

Passo 6

Com a margem de erro, podemos determinar o intervalo de confiança:
barx pm E = 90,28 pm 2,63
Isso nos dá:
87,65% <= mu <= 92,91%

Passo 7

Interpretação: Estamos 95% confiantes de que o rendimento médio verdadeiro do processo químico está entre 87,65% e 92,91%.

Passo 8

A margem de erro desse intervalo é de 2,63 pontos percentuais.

Passo 9

Se quisermos reduzir a margem de erro em 50%, ela passaria a ser:
Enovo = 2,632 = 1,315
Para encontrar o novo tamanho da amostra necessário, usamos a fórmula rearranjada:
n = ( Z times sigmaEnovo )^2 = ( 1,96 times 31,315 )^2 approx ( 5,881,315 )^2 approx (4,47)^2 approx 19,98
Então, precisamos arredondar para cima, pois não podemos ter uma fração de observação.

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o rendimento médio verdadeiro está entre 87,65% e 92,91%. A margem de erro desse intervalo é de 2,63 pontos percentuais. Para reduzir essa margem de erro em 50%, o tamanho amostral necessário é de 20 observações.

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