Se 5 % das peças produzidas por uma máquina são defeituosas, qual é a probabilidade de que em 5 dessas peças escolhidas aleatoriamente:
© entre 2 e 5 defeituosas (exclusive).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que 5% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolhermos 5 dessas peças aleatoriamente, termos entre 2 e 5 defeituosas, mas sem incluir 2 e 5. Isso significa que queremos saber a chance de ter 3 ou 4 peças defeituosas nessas 5 escolhidas.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 5 peças), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial:
P(k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos (peças defeituosas).
  • $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (nesse caso, 0,05).
  • $ n $ é o número total de tentativas (5 peças).
  • $ k $ é o número de sucessos desejados (3 ou 4 defeituosas).
Vamos calcular separadamente para $ k = 3 $ e $ k = 4 $, e depois somar as probabilidades.

Passo 3

Primeiro, para $ k = 3 $:
k = 3
Calculando $ \binom{5}{3} $:
P(3) = binom53 times 0,05^3 times (1-0,05)^5-3
Então:
binom53
Calculando os valores:
binom53 = 5!3!(5-3)! = 5 times 42 times 1 = 10

Passo 4

Agora, para $ k = 4 $:
k = 4
Calculando $ \binom{5}{4} $:
P(4) = binom54 times 0,05^4 times (1-0,05)^5-4
Então:
binom54
Calculando os valores:
binom54 = 5!4!(5-4)! = 51 = 5

Passo 5

Agora, somamos as probabilidades de $ k = 3 $ e $ k = 4 $:
k = 3

Resposta

A probabilidade de, ao escolher 5 peças aleatoriamente, ter entre 2 e 5 defeituosas (exclusivo) é de aproximadamente 0,1158%.

Exercícios relacionados