Se
das peças produzidas por uma máquina são defeituosas, qual é a probabilidade de que em 5 dessas peças escolhidas aleatoriamente:
© entre 2 e 5 defeituosas (exclusive).
© entre 2 e 5 defeituosas (exclusive).
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que 5% das peças produzidas por uma máquina são defeituosas. A pergunta é: qual a probabilidade de, ao escolhermos 5 dessas peças aleatoriamente, termos entre 2 e 5 defeituosas, mas sem incluir 2 e 5. Isso significa que queremos saber a chance de ter 3 ou 4 peças defeituosas nessas 5 escolhidas.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é ótima para calcular probabilidades em situações onde temos um número fixo de tentativas (neste caso, 5 peças), cada tentativa tem dois resultados possíveis (defeituosa ou não), e a probabilidade de sucesso (peça defeituosa) é constante em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da Distribuição Binomial:
Onde:
- $ P(k) $ é a probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos (peças defeituosas).
- $ \binom{n}{k} $ é o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (nesse caso, 0,05).
- $ n $ é o número total de tentativas (5 peças).
- $ k $ é o número de sucessos desejados (3 ou 4 defeituosas).
Vamos calcular separadamente para $ k = 3 $ e $ k = 4 $, e depois somar as probabilidades.
Passo 3
Primeiro, para $ k = 3 $:
Calculando $ \binom{5}{3} $:
Então:
Calculando os valores:
Passo 4
Agora, para $ k = 4 $:
Calculando $ \binom{5}{4} $:
Então:
Calculando os valores:
Passo 5
Agora, somamos as probabilidades de $ k = 3 $ e $ k = 4 $:
Resposta
A probabilidade de, ao escolher 5 peças aleatoriamente, ter entre 2 e 5 defeituosas (exclusivo) é de aproximadamente 0,1158%.