Em testes com um motor, há falhas em 2 componentes a cada 5 horas. Qual a probabilidade de que:
a) Em 10 horas de testes nenhum componente falhe.
b) Em 7 horas e meia de testes, ocorram falhas no máximo em 3 componentes.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que em 5 horas de teste de um motor, há falhas em 2 componentes. Vamos trabalhar com probabilidade de falhas usando o que a gente chama de distribuição de Poisson. Para resolver isso, precisamos entender quantas falhas ocorrem em um certo período de tempo e calcular as probabilidades desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a taxa média de falhas por hora. Sabemos que são 2 falhas a cada 5 horas, então a taxa λ (lambda) é:
lambda = 2 falhas5 horas = 0,4 falhas por hora

Passo 3

Agora, para a parte a), queremos saber a probabilidade de nenhum componente falhar em 10 horas. Usamos a fórmula da distribuição de Poisson:
P(k; lambda t) = e^-lambda t (lambda t)^kk!
Onde:
  • $ k = 0 $ (nenhuma falha)
  • $ t = 10 $ horas
  • $ \lambda = 0,4 $

Passo 4

Calculando $ \lambda t $:
lambda t

Passo 5

Substituindo na fórmula:
P(0; 4) = e^-4 times 4^00! = e^-4 times 1 / 1 = e^-4

Passo 6

Calculando o valor numérico:
e^-4 approx 0,0183 ou 1,83%

Passo 7

Para a parte b), queremos a probabilidade de no máximo 3 falhas em 7,5 horas. Usamos a mesma fórmula, mas somamos as probabilidades de 0, 1, 2 e 3 falhas.

Passo 8

Primeiro, calculamos $ \lambda t $:
lambda t

Passo 9

Calculamos cada probabilidade individualmente:
P(0; 3) = e^-3 times 3^00! = e^-3 approx 0,0498
P(1; 3) = e^-3 times 3^11! = 3e^-3 approx 0,1494
P(2; 3) = e^-3 times 3^22! = 9e^-32 approx 0,2240
P(3; 3) = e^-3 times 3^33! = 27e^-36 approx 0,2240

Passo 10

Somando todas as probabilidades:
P(até 3 falhas) = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 = 0,6472 ou 64,72% é

Resposta

a) A probabilidade de que nenhum componente falhe em 10 horas de testes é aproximadamente 1,83%.
b) A probabilidade de que ocorram no máximo 3 falhas em 7,5 horas de testes é aproximadamente 64,72%.

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