Em testes com um motor, há falhas em 2 componentes a cada 5 horas. Qual a probabilidade de que:
a) Em 10 horas de testes nenhum componente falhe.
b) Em 7 horas e meia de testes, ocorram falhas no máximo em 3 componentes.
a) Em 10 horas de testes nenhum componente falhe.
b) Em 7 horas e meia de testes, ocorram falhas no máximo em 3 componentes.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz que em 5 horas de teste de um motor, há falhas em 2 componentes. Vamos trabalhar com probabilidade de falhas usando o que a gente chama de distribuição de Poisson. Para resolver isso, precisamos entender quantas falhas ocorrem em um certo período de tempo e calcular as probabilidades desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a taxa média de falhas por hora. Sabemos que são 2 falhas a cada 5 horas, então a taxa λ (lambda) é:
Passo 3
Agora, para a parte a), queremos saber a probabilidade de nenhum componente falhar em 10 horas. Usamos a fórmula da distribuição de Poisson:
Onde:
- $ k = 0 $ (nenhuma falha)
- $ t = 10 $ horas
- $ \lambda = 0,4 $
Passo 4
Calculando $ \lambda t $:
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Calculando o valor numérico:
Passo 7
Para a parte b), queremos a probabilidade de no máximo 3 falhas em 7,5 horas. Usamos a mesma fórmula, mas somamos as probabilidades de 0, 1, 2 e 3 falhas.
Passo 8
Primeiro, calculamos $ \lambda t $:
Passo 9
Calculamos cada probabilidade individualmente:
Passo 10
Somando todas as probabilidades:
Resposta
a) A probabilidade de que nenhum componente falhe em 10 horas de testes é aproximadamente 1,83%.
b) A probabilidade de que ocorram no máximo 3 falhas em 7,5 horas de testes é aproximadamente 64,72%.