Uma pedra é abandonada de uma altura de 100,0 m (aproximadamente 20 andares) em um local em que a aceleração da gravidade é 9,80 m / s^2. Considere desprezível a resistência do ar. Determinar:
A) A função horária da velocidade e a função horária do movimento.
B) O tempo de queda.
C) A velocidade ao final da queda.
D) Construir gráficos de velocidade em função do tempo e de altura em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma pedra que é soltada de uma altura de 100 metros, sem considerar a resistência do ar, e com a aceleração da gravidade sendo 9,80 m/s². Estamos lidando com o conteúdo de cinemática, que estuda o movimento dos objetos. Para resolver as questões A, B, C e D, vamos precisar usar as equações do movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

A) Função horária da velocidade e a função horária do movimento.
Primeiro, vamos encontrar a função que descreve a velocidade da pedra ao longo do tempo. Sabemos que a aceleração da gravidade é constante e que a pedra parte do repouso.
A equação da velocidade no movimento uniformemente acelerado é:
v(t) = v0 + a t
Onde:
  • $ v(t) $ é a velocidade no tempo $ t $.
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial (que é 0, já que a pedra é abandonada).
  • $ a $ é a aceleração (neste caso, $ 9,80 , \mathrm{m/s}^2 $).
Então:
v(t)
Agora, vamos para a função horária da posição (altura) da pedra. A equação é:
t
Onde:
  • $ s(t) $ é a posição no tempo $ t $.
  • $ s_0 $ é a posição inicial (100,0 m).
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial (0).
  • $ a $ é a aceleração (9,80 m/s²).
Então:
v0
Nota: A velocidade está para baixo, então a posição diminui com o tempo, por isso o sinal negativo.

Passo 3

B) O tempo de queda.
Queremos saber quanto tempo a pedra leva para atingir o chão (quando $ s(t) = 0 $).
Usamos a equação da posição:
s(t) = 0
Resolvendo para $ t $:
0 = 100,0 - 4,90 , t^2

Passo 4

C) A velocidade ao final da queda.
Agora, vamos usar a função da velocidade que encontramos no Passo 2:
v(t) = 9,80 , t
Substituindo $ t \approx 4,517 , s $:
t approx 4,517 , s

Passo 5

D) Construir gráficos de velocidade em função do tempo e de altura em função do tempo.
Para desenhar os gráficos:
  1. Velocidade vs. Tempo:
    • Este é um gráfico linear, pois a velocidade aumenta de forma constante com o tempo.
    • A inclinação da reta é igual à aceleração da gravidade ($ 9,80 , \mathrm{m/s}^2 $).
    • Ponto inicial: $ t = 0 $, $ v = 0 $.
  2. Altura vs. Tempo:
    • Este é um gráfico parabólico, já que a posição depende do quadrado do tempo.
    • A equação é $ s(t) = 100,0 - 4,90 , t^2 $.
    • Ponto inicial: $ t = 0 $, $ s = 100,0 , m $.
    • Quando $ t \approx 4,517 , s $, $ s = 0 $.
Como construir:
  • Para $ v(t) $, trace uma reta que passa pela origem com inclinação 9,80.
  • Para $ s(t) $, plote pontos calculando $ s $ para diferentes valores de $ t $ até $ t \approx 4,517 , s $ e una-os formando uma parábola.

Resposta

A) As funções horárias são:
  • Velocidade: $ v(t) = 9,80 , t , \mathrm{m/s} $
  • Posição: $ s(t) = 100,0 , m - 4,90 , t^2 $
B) O tempo de queda é aproximadamente 4,517 segundos.
C) A velocidade ao final da queda é aproximadamente 44,28 m/s.
D) Os gráficos são:
  • Velocidade vs. Tempo: Reta crescente com inclinação 9,80 m/s².
  • Altura vs. Tempo: Parábola decrescente que atinge 0 m em 4,517 segundos.

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