Se uma pedra foi jogada para cima no planeta Marte com velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, sua altura, em metros, t segundos mais tarde, será dada por
s(t)=10 t-1,86 t^{2} .
(a) Calcule sua velocidade média nos intervalos de tempo [2 ; 2,2], [2 ; 2,1], [2 ; 2,01] e [2 ; 2,001].
(b) Defina velocidade instantânea;

Passo 1

O enunciado dá a altura de uma pedra jogada em Marte como
s(t)=10\,t - 1,86\,t^{2},
e pede (a) a velocidade média nos intervalos [2,2{,}2], [2,2{,}1], [2,2{,}01] e [2,2{,}001]; (b) a definição de velocidade instantânea. Para isso usamos o conceito de taxa média de variação e o limite dessa taxa quando o intervalo tende a zero.

Passo 2

A velocidade média em [2,\,2+h] é
v_{\text{méd}}(h) =\frac{s(2+h)-s(2)}{h} =\frac{\bigl[10(2+h)-1,86(2+h)^{2}\bigr]-\bigl[10\cdot2-1,86\cdot2^{2}\bigr]}{h}.é
Como s(2)=20-1,86\cdot4=12,56 e (2+h)^{2}=4+4h+h^{2}, ao simplificar obtemos
v_{\text{méd}}(h) =\frac{20+10h -1,86(4+4h+h^{2}) -12,56}{h} =\frac{2,56\,h -1,86\,h^{2}}{h} =2,56 -1,86\,h.é

Passo 3

Agora basta substituir h=0{,}2, 0{,}1, 0{,}01 e 0{,}001 em v_{\text{méd}}(h)=2,56-1,86\,hé:
\begin{aligned} h=0{,}2&\implies v_{\text{méd}}=2,56-1,86\cdot0{,}2=2,188\\ \mathrm{m/s},\\\ h=0{,}1&\implies v_{\text{méd}}=2,56-1,86\cdot0{,}1=2,374\\ \mathrm{m/s},\\\ h=0{,}01&\implies v_{\text{méd}}=2,56-1,86\cdot0{,}01=2,5414\\ \mathrm{m/s},\\\ h=0{,}001&\implies v_{\text{méd}}=2,56-1,86\cdot0{,}001=2,55814\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}éééé

Passo 4

A velocidade instantânea em t é definida como o limite da velocidade média quando o tamanho do intervalo h tende a zero, ou seja
v_{\text{inst}}(t) =\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h} =s'(t).

Resposta

(a) Nos intervalos dados, as velocidades médias são
2,188\\ \mathrm{m/s},\quad 2,374\\ \mathrm{m/s},\quad 2,5414\\ \mathrm{m/s},\quad 2,55814\\ \mathrm{m/s}.
(b) A velocidade instantânea de s em t é
v_{\text{inst}}(t) =\lim_{h\to0}\frac{s(t+h)-s(t)}{h},
isto é, a derivada s'(t).

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