Use as duas formas de calcular derivada para as seguintes funções e pontos.
f(x)=4 x-x^{2} ; \quad P(1,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=4x - x^2
no ponto P(1,3) usando duas abordagens:
  • a definição de derivada (primeiros princípios),
  • as regras de derivação.

Passo 2

Usando a definição de derivada em x=1:
f'(1) = \lim_{h\to0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Primeiro, calcule f(1+h):
f(1+h)=4(1+h)-(1+h)^2 =4+4h-\bigl(1+2h+h^2\bigr) =3+2h-h^2.
Então o quociente de diferença é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{\bigl(3+2h-h^2\bigr)-3}{h} =\frac{2h - h^2}{h} =2 - h.
Tomando o limite h\to0:
f'(1)=\lim_{h\to0}(2-h)=2.

Passo 3

Usando as regras de derivação:
  • A derivada de 4x é 4.
  • A derivada de -x^2 é -2x.
    Logo, para qualquer x,
f'(x)=4-2x.
Em x=1,
f'(1)=4-2\cdot1=2.

Resposta

\displaystyle f'(1)=2.

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