1. Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra atinge a altura máxima 1,60 \mathrm{~s} após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar com o edifício, a pedra chega ao solo 6,00 \mathrm{~s} após ter sido lançada. Em unidades SI: (a) com que velocidade a pedra foi lançada? (b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço? (c) Qual a altura do edifício?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados (peguei estes números do enunciado):
  • A pedra é lançada verticalmente para cima a partir do terraço.
  • Tempo até a altura máxima: t_{\text{top}}=1{,}60\\ \text{s}.
  • Tempo total desde o lançamento até atingir o solo: t_{\text{total}}=6{,}00\\ \text{s}.
O enunciado pede:
(a) com que velocidade a pedra foi lançada (velocidade inicial v_0, em unidades SI);
(b) qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço (ou seja, subida máxima h_{\text{max}});
(c) qual a altura do edifício (distância vertical do terraço ao solo), que chamarei de H.

Passo 2

Escolher convenção de sinais e a equação básica. Vou usar:
  • sentido para cima como positivo;
  • aceleração da gravidade como \\ g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 apontando para baixo, então a aceleração é a=-g.
As equações do movimento uniformemente acelerado que vamos usar (para movimento vertical com aceleração constante) são:
v(t)=v_0 + a\,t
y(t)=y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
Onde:
  • v(t) é a velocidade vertical no tempo t;
  • v_0 é a velocidade inicial vertical (no lançamento);
  • a é a aceleração (aqui a=-g);
  • y(t) é a posição vertical no tempo t;
  • y_0 é a posição inicial (vou tomar y_0=0 no terraço, então y negativo significa abaixo do terraço).
Explicação rápida do porquê: para aceleração constante, velocidade varia linearmente com o tempo e posição é integral da velocidade, dando um termo quadrático em t. Essas fórmulas são padrão e fáceis de usar na prova.

Passo 3

Determinar a velocidade inicial v_0 a partir do tempo até o topo. No ponto mais alto a velocidade é zero: v(t_{\text{top}})=0. Usando v(t)=v_0 + a t com a=-g e t=t_{\text{top}}:
0 = v_0 - g\,t_{\text{top}}
Isolando v_0:
v_0 = g\,t_{\text{top}}.
Substituindo os valores numéricos ( g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 e t_{\text{top}}=1{,}60\\ \text{s}):
v_0 = 9{,}8 \times 1{,}60 = 15{,}68\\ \text{m/s}.
Interpretação prática: a velocidade inicial é a que, sob desaceleração g, leva a velocidade a zero em 1{,}60\\ \text{s}. Você pode arredondar a resposta para v_0\approx 15{,}7\\ \text{m/s} se precisar de 3 dígitos significativos.

Passo 4

Calcular a altura máxima relativa ao terraço h_{\text{max}}. Existem duas formas equivalentes; uso a forma direta com tempo:
h_{\text{max}} = y(t_{\text{top}}) - y_0 = v_0 t_{\text{top}} + \tfrac{1}{2}(-g) t_{\text{top}}^2.
Como y_0=0, fica
h_{\text{max}} = v_0 t_{\text{top}} - \tfrac{1}{2} g t_{\text{top}}^2.
Também há a forma conhecida h_{\text{max}}=\dfrac{v_0^2}{2g}; ambas dão o mesmo resultado. Usando os números:
h_{\text{max}} = 15{,}68\times 1{,}60 - \tfrac{1}{2}\times 9{,}8 \times (1{,}60)^2.
Calculemos passo a passo:
15{,}68\times 1{,}60 = 25{,}088,
\tfrac{1}{2}\times 9{,}8 \times (1{,}60)^2 = 4{,}9 \times 2{,}56 = 12{,}544.
Logo
h_{\text{max}} = 25{,}088 - 12{,}544 = 12{,}544\\ \text{m}.
Arredondando: h_{\text{max}}\approx 12{,}54\\ \text{m} (ou 12{,}5\\ \text{m} com menos precisão).

Passo 5

Determinar a altura do edifício H. No instante t=t_{\text{total}}=6{,}00\\ \text{s} a pedra está no solo; tomando y=0 no terraço e posição do solo y=-H. Usamos a equação da posição:
y(t_{\text{total}})=y_0 + v_0 t_{\text{total}} + \tfrac{1}{2} a t_{\text{total}}^2.
Com y_0=0 e a=-g:
y(6{,}00)= v_0\times 6{,}00 - \tfrac{1}{2} g (6{,}00)^2.
Essa posição é igual a -H, pois está H metros abaixo do terraço. Assim
-H = v_0\times 6{,}00 - \tfrac{1}{2} g \times 36.
Isolando H:
H = \tfrac{1}{2} g \times 36 - v_0\times 6{,}00.
Agora substituímos v_0=15{,}68\\ \text{m/s} e g=9{,}8\\ \text{m/s}^2:
\tfrac{1}{2} g \times 36 = 4{,}9 \times 36 = 176{,}4,
v_0\times 6{,}00 = 15{,}68 \times 6 = 94{,}08.
Logo
H = 176{,}4 - 94{,}08 = 82{,}32\\ \text{m}.
Arredondando: H\approx 82{,}3\\ \text{m}.

Passo 6

Verificação rápida (sanity check): o tempo total 6{,}00\\ \text{s} é maior que o tempo de subida 1{,}60\\ \text{s}. O tempo de descida desde o topo até o solo seria t_{\text{down}}=6{,}00-1{,}60=4{,}40\\ \text{s}. Podemos verificar aproximando a queda a partir da altura máxima h_{\text{max}}+H (distância do topo ao solo) e conferir se \sqrt{2\,(h_{\text{max}}+H)/g} é aproximadamente 4{,}40\\ \text{s}. Cálculo rápido:
h_{\text{top->ground}} = h_{\text{max}} + H \approx 12{,}544 + 82{,}32 = 94{,}864\\ \text{m},
\sqrt{\dfrac{2\times 94{,}864}{9{,}8}} \approx \sqrt{\dfrac{189{,}728}{9{,}8}} \approx \sqrt{19{,}357} \approx 4{,}40\\ \text{s},
o que bate com t_{\text{down}}=4{,}40\\ \text{s}. Boa consistência.

Resposta

(a) v_0 = 15{,}68\\ \text{m/s} \approx 15{,}7\\ \text{m/s}
(b) h_{\text{max}} = 12{,}544\\ \text{m} \approx 12{,}5\\ \text{m}
(c) H = 82{,}32\\ \text{m} \approx 82{,}3\\ \text{m}

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