- Uma pedra é lançada verticalmente para cima a partir da borda do terraço de um edifício. A pedra atinge a altura máxima
após ter sido lançada. Em seguida, após quase se chocar com o edifício, a pedra chega ao solo
após ter sido lançada. Em unidades SI: (a) com que velocidade a pedra foi lançada? (b) Qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço? (c) Qual a altura do edifício?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas. Dados (peguei estes números do enunciado):
- A pedra é lançada verticalmente para cima a partir do terraço.
- Tempo até a altura máxima:
. - Tempo total desde o lançamento até atingir o solo:
.
O enunciado pede:
(a) com que velocidade a pedra foi lançada (velocidade inicial , em unidades SI);
(b) qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço (ou seja, subida máxima );
(c) qual a altura do edifício (distância vertical do terraço ao solo), que chamarei de .
(a) com que velocidade a pedra foi lançada (velocidade inicial
(b) qual a altura máxima atingida pela pedra em relação ao terraço (ou seja, subida máxima
(c) qual a altura do edifício (distância vertical do terraço ao solo), que chamarei de
Passo 2
Escolher convenção de sinais e a equação básica. Vou usar:
- sentido para cima como positivo;
- aceleração da gravidade como
apontando para baixo, então a aceleração é .
As equações do movimento uniformemente acelerado que vamos usar (para movimento vertical com aceleração constante) são:
Onde:
-
é a velocidade vertical no tempo ; -
é a velocidade inicial vertical (no lançamento); -
é a aceleração (aqui ); -
é a posição vertical no tempo ; -
é a posição inicial (vou tomar no terraço, então negativo significa abaixo do terraço).
Explicação rápida do porquê: para aceleração constante, velocidade varia linearmente com o tempo e posição é integral da velocidade, dando um termo quadrático em
. Essas fórmulas são padrão e fáceis de usar na prova.
Passo 3
Determinar a velocidade inicial
a partir do tempo até o topo. No ponto mais alto a velocidade é zero:
. Usando
com
e
:
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos (
e
):
Interpretação prática: a velocidade inicial é a que, sob desaceleração
, leva a velocidade a zero em
. Você pode arredondar a resposta para
se precisar de 3 dígitos significativos.
Passo 4
Calcular a altura máxima relativa ao terraço
. Existem duas formas equivalentes; uso a forma direta com tempo:
Como
, fica
Também há a forma conhecida
; ambas dão o mesmo resultado. Usando os números:
Calculemos passo a passo:
Logo
Arredondando:
(ou
com menos precisão).
Passo 5
Determinar a altura do edifício
. No instante
a pedra está no solo; tomando
no terraço e posição do solo
. Usamos a equação da posição:
Com
e
:
Essa posição é igual a
, pois está
metros abaixo do terraço. Assim
Isolando
:
Agora substituímos
e
:
Logo
Arredondando:
.
Passo 6
Verificação rápida (sanity check): o tempo total
é maior que o tempo de subida
. O tempo de descida desde o topo até o solo seria
. Podemos verificar aproximando a queda a partir da altura máxima
(distância do topo ao solo) e conferir se
é aproximadamente
. Cálculo rápido:
o que bate com
. Boa consistência.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)