Uma pedra A é lançada verticalmente para cima a partir do solo, com a velocidade de 40 m / s. Simultaneamente, na mesma vertical, outra pedra B é abandonada a partir do repouso do alto de um edifício com 80 m de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10 m / s^2 para a aceleração da gravidade, determine:
(a) o instante em que as pedras colidem;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos duas pedras se movendo na vertical:
  1. Pedra A: é lançada para cima do chão com uma velocidade inicial de 40 , m/s.
  2. Pedra B: é largada do alto de um prédio que tem 80 , m de altura, começando do repouso.
Queremos descobrir quando essas duas pedras se encontram no caminho, ou seja, o instante em que estão na mesma posição. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado, já que ambas as pedras estão sujeitas à aceleração da gravidade g = 10 , m/s^2.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o sistema de referência. Vamos considerar o chão como a posição s = 0. A posição aumenta para cima.
Para a Pedra A:
  • Posição inicial ( sA0): 0 , m (pois parte do chão).
  • Velocidade inicial ( vA0): 40 , m/s para cima.
  • Aceleração ( aA): -g = -10 , m/s^2 (a gravidade puxa para baixo).
A equação da posição da Pedra A em função do tempo t é:
sA(t) = sA0 + vA0 t + 12 aA t^2
Substituindo os valores:
sA(t) = 0 + 40 t - 5 t^2
sA(t) = 40 t - 5 t^2

Passo 3

Para a Pedra B:
  • Posição inicial ( sB0): 80 , m (altura do prédio).
  • Velocidade inicial ( vB0): 0 , m/s (começa do repouso).
  • Aceleração ( aB): g = 10 , m/s^2 (a gravidade puxa para baixo).
A equação da posição da Pedra B em função do tempo t é:
sB(t) = sB0 + vB0 t + 12 aB t^2
Substituindo os valores:
sB(t) = 80 + 0 cdot t + 5 t^2
sB(t) = 80 + 5 t^2

Passo 4

Para encontrar o instante em que as pedras colidem, precisamos igualar as posições sA(t) e sB(t):
40 t - 5 t^2 = 80 + 5 t^2
Agora, vamos resolver essa equação para t:
40 t - 5 t^2 - 80 - 5 t^2 = 0
40 t - 10 t^2 - 80 = 0
Vamos reorganizar:
-10 t^2 + 40 t - 80 = 0
Dividindo todos os termos por -10 para simplificar:
t^2 - 4 t + 8 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
t^2 - 4 t + 8 = 0
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = -4, e c = 8.
Calculando o discriminante ( De):
De
Como o discriminante é negativo ( De), isso significa que não há solução real para t. Ou seja, as pedras nunca se encontram no caminho.

Resposta

As pedras nunca colidem.

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