Resolva
(x+1) y+(x^2-1) y^prime-1=0, y(0)=1

Passo 1

A questão pede pra gente achar a solução de uma equação diferencial de primeira ordem linear:

Passo 2

Temos a equação
(x+1)y + (x^2 - 1)y' - 1 = 0, y(0)=1
O conteúdo é EDO linear de 1º ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 3

Primeiro colocamos no formato padrão y' + P(x)y = Q(x). Dividindo tudo por x^2-1 (que não é zero perto de x=0):
y' + x+1x^2-1,y = 1x^2-1
Então P(x)=x+1x^2-1 e Q(x)=1x^2-1.

Passo 4

Agora achamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x)dx. Fazendo frações parciais em P(x):
x+1x^2-1=1x-1
Logo
integral P(x)dx=integral1x-1dx=ln|x-1|,
então
mu(x)=e^ln|x-1|=|x-1|
Como estamos olhando para x perto de 0 (ou seja x<1), podemos tomar mu(x)=1-x.

Passo 5

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=1-x virá:
(1-x)y' + (1-x)x+1x^2-1y = (1-x)1x^2-1
Pela teoria do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de (1-x)y. O lado direito simplifica:
1-xx^2-1=-(x-1)(x-1)(x+1)=-1x+1
Então
ddxl((1-x)yr)=-1x+1

Passo 6

Integrando ambos os lados:
(1-x)y=integral -1x+1dx=-ln|x+1|+C
Daí a solução geral é
y=-ln|x+1|+C1-x

Passo 7

Aplicando a condição inicial y(0)=1:
1=y(0)=-ln|1|+C1-0=0+C1=C,
logo C=1. Substituindo de volta e simplificando (multiplicando numerador e denominador por -1):
y(x)=ln(x+1)-1x-1

Resposta

y(x)=ln(x+1)-1x-1, y(0)=1

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