Um pêndulo contendo uma haste de comprimento
metros e um objeto de massa
kg, preso na extremidade inferior da haste, encontra-se na posição de equilibrio e tem como suporte um carrinho (em repouso). No instante
esse carrinho incia um um movimento unidimensional horizontal para frente e para trás cujo deslocamento em relação a sua posição de repouso inicial é dado por
sen
metros. Determine a equação diferencial posição do objeto de massa
em relação a sua posição de repouso em qualquer instante de tempo
. Se necessário faça a linearização da equação diferencial e determine sua solução.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
- Dados fornecidos:
- Comprimento da haste:
metros. - Massa do corpo:
kg (a massa aparecerá na formulação, mas pode cancelar). - Deslocamento horizontal do suporte (carrinho) em relação à posição de repouso:
metros, para . - Condição inicial implícita: o pêndulo está em posição de equilíbrio (vertical para baixo) e o conjunto estava em repouso antes de
. Isso corresponde a e se usarmos o ângulo medido a partir da vertical.
- Comprimento da haste:
- O que o enunciado pede:
- Determinar a equação diferencial que descreve a posição do objeto em relação à sua posição de repouso para
. - Se necessário, linearizar essa equação diferencial e determinar sua solução (isto é, resolver a equação linearizada).
- Determinar a equação diferencial que descreve a posição do objeto em relação à sua posição de repouso para
- Observações de notação que vou usar:
- Tomarei
como o ângulo que a haste faz com a vertical (positiva num sentido), de modo que é posição de repouso vertical. - A posição do pivô (suporte) é
no eixo horizontal. - A aceleração da gravidade será
(para computar numericamente uso ).
- Tomarei
Passo 2
Escolha de coordenadas e expressões para energia (a técnica que vou usar).
- Coordenadas do ponto de massa
: - Horizontal:
- Vertical (tomando
no pivô e sentido para baixo positivo):
desconsiderando constante; para energia potencial uso a forma .) - Horizontal:
- Velocidade do corpo: preciso de
e . -
. -
.
-
- Energia cinética:
Substituindo as expressões: porque . Logo - Energia potencial (referência escolhida de modo conveniente):
Passo 3
Montagem da equação de movimento via Lagrange (a ideia: aplicar Euler–Lagrange para a coordenada
).
- Lagrangiana:
. - Calculo necessário (mostro os passos essenciais):
- Derivo
: - Derivo no tempo:
- Derivo
:
- Derivo
- Euler–Lagrange:
. - Substituindo as expressões e observando que os termos
se cancelam, obtemos:
- Substituindo as expressões e observando que os termos
- Simplificando (dividindo por
): - Isolando
ou escrevendo na forma canônica: Ou, colocada como forçamento à direita,
Comentário físico rápido: esta é a equação exata (não linearizada) para o pêndulo cujo pivô é deslocado horizontalmente por
. O termo
é a contribuição da gravidade (restauração), e o termo envolvendo
é a aceleração do pivô que aparece como força inercial / forçante.
Passo 4
Substituição do deslocamento dado
.
- Primeiro obtenho
. Como (unidade: metros), tem-se - Inserindo em
, obtemos a equação não linear específica: - Forma alternativa mais compacta:
Essa é a equação diferencial exata para
quando o pivô move-se como
.
Passo 5
Linearização pelo pequeno ângulo (quando
é pequeno, técnica comum em provas).
- Justificativa: para pequenos deslocamentos angulares (
rad), usa-se as aproximações de primeira ordem: Isso simplifica a equação não linear numa equação linear com forçamento conhecido. - Aplicando as aproximações à equação exata
tem-se a equação linearizada: Ou escrevendo o forçamento no lado direito: - Com os valores numéricos:
Passo 6
Resolução da equação linearizada por coeficientes não determinados e aplicação das condições iniciais
.
- Equação a resolver:
- Solução geral = soma da solução homogênea e de uma particular:
- Solução homogênea:
- Procuro solução particular do tipo
porque o forçamento é .
- Solução homogênea:
- Substituo
na equação: -
. - Substituição dá:
- Agrupando coeficientes de
e : - Igualando coeficientes:
Como, em geral, (no nosso caso ), temos e - Reescrevendo
usando e lembrando que a frequência do forçamento é (rad/s), pode-se também expressar: (mantendo em mente que o aqui é ).
-
- Assim a solução geral é
Ou, usando , - Aplicando as condições iniciais
e : - Em
: - Derivada:
Em e usando :
- Em
- Portanto a solução particular com as condições iniciais é
- Agora substituo números para dar a forma numérica:
-
. -
(as unidades combinam porque aparece multiplicado por ; numericamente esse é o denominador já tratado). - Assim:
-