Um pêndulo contendo uma haste de comprimento L=3 metros e um objeto de massa m=5 kg, preso na extremidade inferior da haste, encontra-se na posição de equilibrio e tem como suporte um carrinho (em repouso). No instante t=0 esse carrinho incia um um movimento unidimensional horizontal para frente e para trás cujo deslocamento em relação a sua posição de repouso inicial é dado por d(t)= sen t metros. Determine a equação diferencial posição do objeto de massa m em relação a sua posição de repouso em qualquer instante de tempo t>0. Se necessário faça a linearização da equação diferencial e determine sua solução.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da haste: L=3 metros.
    • Massa do corpo: m=5 kg (a massa aparecerá na formulação, mas pode cancelar).
    • Deslocamento horizontal do suporte (carrinho) em relação à posição de repouso: d(t)=\sin t metros, para t>0.
    • Condição inicial implícita: o pêndulo está em posição de equilíbrio (vertical para baixo) e o conjunto estava em repouso antes de t=0. Isso corresponde a \theta(0)=0 e \theta'(0)=0 se usarmos o ângulo \theta medido a partir da vertical.
  • O que o enunciado pede:
    1. Determinar a equação diferencial que descreve a posição do objeto em relação à sua posição de repouso para t>0.
    2. Se necessário, linearizar essa equação diferencial e determinar sua solução (isto é, resolver a equação linearizada).
  • Observações de notação que vou usar:
    • Tomarei \theta(t) como o ângulo que a haste faz com a vertical (positiva num sentido), de modo que \theta=0 é posição de repouso vertical.
    • A posição do pivô (suporte) é x_{\text{pivô}}(t)=d(t)ô no eixo horizontal.
    • A aceleração da gravidade será g (para computar numericamente uso g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}).

Passo 2

Escolha de coordenadas e expressões para energia (a técnica que vou usar).
  • Coordenadas do ponto de massa m:
    • Horizontal: x(t)=d(t)+L\sin\theta(t)
    • Vertical (tomando y=0 no pivô e sentido para baixo positivo): y(t)=L(1-\cos\theta(t))
    (ou, equivalente, y=-L\cos\theta desconsiderando constante; para energia potencial uso a forma mgL(1-\cos\theta).)
  • Velocidade do corpo: preciso de \dot x e \dot y.
    • \dot x(t)=\dot d(t)+L\cos\theta(t)\,\dot\theta(t).
    • \dot y(t)=L\sin\theta(t)\,\dot\theta(t).
  • Energia cinética: T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}\big).Substituindo as expressões: \dot x^{2}+\dot y^{2}=\dot d^{2}+2L\dot d\cos\theta\,\dot\theta+L^{2}\dot\theta^{2},porque \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Logo T=\tfrac{1}{2}m\Big(\dot d^{2}+2L\dot d\cos\theta\,\dot\theta+L^{2}\dot\theta^{2}\Big).
  • Energia potencial (referência escolhida de modo conveniente): V=mgL(1-\cos\theta).

Passo 3

Montagem da equação de movimento via Lagrange (a ideia: aplicar Euler–Lagrange para a coordenada \theta).
  • Lagrangiana: \mathcal{L}=T-V.
  • Calculo necessário (mostro os passos essenciais):
    • Derivo \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot\theta}: \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot\theta} =m\big(L\dot d\cos\theta+L^{2}\dot\theta\big).
    • Derivo no tempo: \frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot\theta}\Big) =m\big(L\ddot d\cos\theta - L\dot d\sin\theta\,\dot\theta + L^{2}\ddot\theta\big).
    • Derivo \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial\theta}: \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\theta} =-mL\dot d\sin\theta\,\dot\theta + mgL\sin\theta.
  • Euler–Lagrange: \dfrac{d}{dt}(\partial\mathcal{L}/\partial\dot\theta)-\partial\mathcal{L}/\partial\theta=0.
    • Substituindo as expressões e observando que os termos \mp mL\dot d\sin\theta\,\dot\theta se cancelam, obtemos: mL^{2}\ddot\theta + mL\ddot d\cos\theta + mgL\sin\theta = 0.
  • Simplificando (dividindo por mL): L\ddot\theta + \ddot d\cos\theta + g\sin\theta = 0.
  • Isolando \ddot\theta ou escrevendo na forma canônica: \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta + \frac{\ddot d}{L}\cos\theta = 0.Ou, colocada como forçamento à direita, \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = -\frac{\ddot d}{L}\cos\theta.
Comentário físico rápido: esta é a equação exata (não linearizada) para o pêndulo cujo pivô é deslocado horizontalmente por d(t). O termo \dfrac{g}{L}\sin\theta é a contribuição da gravidade (restauração), e o termo envolvendo \ddot d é a aceleração do pivô que aparece como força inercial / forçante.

Passo 4

Substituição do deslocamento dado d(t)=\sin t.
  • Primeiro obtenho \ddot d(t). Como d(t)=\sin t (unidade: metros), tem-se \ddot d(t) = -\sin t \quad\text{(unidade: m/s}^{2}\text{)}.
  • Inserindo em \ddot\theta + \dfrac{g}{L}\sin\theta = -\dfrac{\ddot d}{L}\cos\theta, obtemos a equação não linear específica: \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = -\frac{-\sin t}{L}\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = \frac{\sin t}{L}\cos\theta.
  • Forma alternativa mais compacta: \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta - \frac{\sin t}{L}\cos\theta = 0.
Essa é a equação diferencial exata para \theta(t) quando o pivô move-se como d(t)=\sin t.

Passo 5

Linearização pelo pequeno ângulo (quando \theta é pequeno, técnica comum em provas).
  • Justificativa: para pequenos deslocamentos angulares ( |\theta|\ll 1 rad), usa-se as aproximações de primeira ordem: \sin\theta \approx \theta,\qquad \cos\theta \approx 1.Isso simplifica a equação não linear numa equação linear com forçamento conhecido.
  • Aplicando as aproximações à equação exata \ddot\theta + \frac{g}{L}\sin\theta = \frac{\sin t}{L}\cos\theta,tem-se a equação linearizada: \ddot\theta + \frac{g}{L}\theta = \frac{\sin t}{L}.Ou escrevendo o forçamento no lado direito: \ddot\theta + \omega_{0}^{2}\theta = \frac{\sin t}{L}, \qquad\text{onde }\omega_{0}^{2}=\frac{g}{L}.
  • Com os valores numéricos: \omega_{0}^{2}=\frac{9,81}{3}=3,27\quad\Rightarrow\quad \omega_{0}\approx\sqrt{3,27}\approx 1,808\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Resolução da equação linearizada por coeficientes não determinados e aplicação das condições iniciais \theta(0)=0,\\ \dot\theta(0)=0.
  • Equação a resolver: \ddot\theta + \omega_{0}^{2}\theta = \frac{\sin t}{L}, \qquad \omega_{0}=\sqrt{\frac{g}{L}}.
  • Solução geral = soma da solução homogênea e de uma particular:
    • Solução homogênea: \theta_{h}(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t).
    • Procuro solução particular do tipo \theta_{p}(t)=A\sin t + B\cos t,porque o forçamento é \sin t.
  • Substituo \theta_{p} na equação:
    • \ddot\theta_{p}=-A\sin t - B\cos t.
    • Substituição dá: (-A\sin t - B\cos t) + \omega_{0}^{2}(A\sin t + B\cos t) = \frac{\sin t}{L}.
    • Agrupando coeficientes de \sin t e \cos t: A(\omega_{0}^{2}-1)\sin t + B(\omega_{0}^{2}-1)\cos t = \frac{\sin t}{L}.
    • Igualando coeficientes: B(\omega_{0}^{2}-1)=0,\qquad A(\omega_{0}^{2}-1)=\frac{1}{L}.Como, em geral, \omega_{0}^{2}\neq 1 (no nosso caso \omega_{0}^{2}=3,27), temos B=0 e A=\frac{1}{L(\omega_{0}^{2}-1)}.
    • Reescrevendo A usando \omega_{0}^{2}=g/L e lembrando que a frequência do forçamento é \Omega=1 (rad/s), pode-se também expressar: A=\frac{1}{g-L\cdot 1}=\frac{1}{g-L},(mantendo em mente que o 1 aqui é \Omega^{2}=1\\ \mathrm{s^{-2}}).
  • Assim a solução geral é \theta(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t)+\frac{\sin t}{L(\omega_{0}^{2}-1)}.Ou, usando \omega_{0}^{2}=g/L, \theta(t)=C_{1}\cos(\omega_{0}t)+C_{2}\sin(\omega_{0}t)+\frac{\sin t}{g-L}.
  • Aplicando as condições iniciais \theta(0)=0 e \dot\theta(0)=0:
    • Em t=0: \theta(0)=C_{1} + 0 + 0 =0 \Rightarrow C_{1}=0.
    • Derivada: \dot\theta(t) = -C_{1}\omega_{0}\sin(\omega_{0}t)+C_{2}\omega_{0}\cos(\omega_{0}t) +\frac{\cos t}{g-L}.Em t=0 e usando C_{1}=0: \dot\theta(0)=C_{2}\omega_{0}+\frac{1}{g-L}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-\frac{1}{\omega_{0}(g-L)}.
  • Portanto a solução particular com as condições iniciais é \boxed{\displaystyle \theta(t)=-\frac{1}{\omega_{0}(g-L)}\sin(\omega_{0}t)+\frac{1}{g-L}\sin t.}
  • Agora substituo números para dar a forma numérica:
    • g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}},\\ L=3\\ \mathrm{m}\Rightarrow \omega_{0}\approx 1,808\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • g-L=9,81-3=6,81 (as unidades combinam porque L aparece multiplicado por \Omega^{2}=1\\ \mathrm{s^{-2}}; numericamente esse é o denominador já tratado).
    • Assim: \theta(t)\approx -\frac{1}{1,808\cdot 6,81}\sin(1,808\,t)+\frac{1}{6,81}\sin t
\theta(t)\approx -0,08112\sin(1,808\,t)+0,1468\sin t.

Resposta

\displaystyle \ddot\theta+\frac{g}{L}\sin\theta=\frac{\sin t}{L}\cos\theta\newline
\displaystyle \text{Equação linearizada: }\ddot\theta+\frac{g}{L}\theta=\frac{\sin t}{L}çã\newline
\displaystyle \theta(t)=-\frac{1}{\omega_{0}(g-L)}\sin(\omega_{0}t)+\frac{1}{g-L}\sin t\quad\text{com }\omega_{0}=\sqrt{\dfrac{g}{L}}\newline

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