Um pêndulo de madeira de massaigual a 6 kg está suspenso por um fio de comprimento
.Em um dado momento,ele é atingido por um projétil cuja massa é 15 g e fica encravado nele.Desta vez,a velocidade do projétil é suficientemente grande,de modo que o periodo apresenta uma pequena diferença a depender do ângulo máximo.Se o periodo foi
,a velocidade do projetil foi
e
.Calcule n .(Dicas:
.
Passo 1
Então, galera! Temos aqui um exercício sobre pêndulos e colisões. O problema envolve um pêndulo de madeira com massa de 6 kg e fio de 1,7 metros. Um projétil de 15 g atinge e fica preso no pêndulo. Após a colisão, o período de oscilação é de 2,64 segundos. Precisamos encontrar o valor de $ n $ na equação da velocidade do projétil $ v = a \cdot n + b $, onde $ a = 51,908 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} $ e $ b = 311,4477 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} $. Para resolver, vamos usar conceitos de conservação de momento e a fórmula do período do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a conservação do momento linear na colisão. Antes da colisão, apenas o projétil está em movimento. Depois, o projétil e o pêndulo se movem juntos. A fórmula da conservação do momento é:
Onde:
- $ m_p = 0,015 , kg $ (massa do projétil)
- $ v $ é a velocidade do projétil que queremos encontrar
- $ m_pend = 6 , kg $ (massa do pêndulo)
- $ V $ é a velocidade do sistema pêndulo + projétil após a colisão
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a velocidade $ V $ com o período $ T $. Sabemos que a energia cinética do sistema após a colisão se transforma em energia potencial no ponto mais alto da oscilação. A fórmula do período do pêndulo com pequena amplitude é:
Onde:
- $ L = 1,7 , m $ (comprimento do fio)
- $ g = 9,8066 , m/s^2 $
- $ \theta_{\max} $ é o ângulo máximo da oscilação
Como o período foi fornecido, podemos usar essa informação para encontrar a relação entre $ V $ e $ \theta_{\max} $.
Passo 4
Vamos rearranjar a fórmula do período para isolar $ \theta_{\max} $:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por 16:
Agora, a energia cinética após a colisão é igual à energia potencial no ponto mais alto:
Para pequenos ângulos, $ 1 - \cos{\theta_{\max}} \approx \frac{\theta_{\max}^2}{2} $, então:
Simplificando:
Substituindo $ \theta_{\max}^2 $:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores numéricos:
Calculando $ \sqrt{\frac{1,7}{9,8066}} $:
Então:
Calculando $ 2\pi \cdot 0,4165 $:
Portanto:
Substituindo de volta:
Então, $ V \approx \sqrt{2,136} \approx 1,461 , m/s $
Usando a conservação do momento:
Passo 6
Agora, sabemos que a velocidade do projétil é dada por $ v = 51,908 \cdot n + 311,4477 $. Substituindo $ v \approx 585,07 $:
Subtraindo 311,4477 de ambos os lados:
Dividindo por 51,908:
Resposta
O valor de $ n $ é aproximadamente 5,27.