Um pêndulo de madeira de massaigual a 6 kg está suspenso por um fio de comprimento .Em um dado momento,ele é atingido por um projétil cuja massa é 15 g e fica encravado nele.Desta vez,a velocidade do projétil é suficientemente grande,de modo que o periodo apresenta uma pequena diferença a depender do ângulo máximo.Se o periodo foi ,a velocidade do projetil foi e .Calcule n .(Dicas:

Passo 1

Então, galera! Temos aqui um exercício sobre pêndulos e colisões. O problema envolve um pêndulo de madeira com massa de 6 kg e fio de 1,7 metros. Um projétil de 15 g atinge e fica preso no pêndulo. Após a colisão, o período de oscilação é de 2,64 segundos. Precisamos encontrar o valor de $ n $ na equação da velocidade do projétil $ v = a \cdot n + b $, onde $ a = 51,908 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} $ e $ b = 311,4477 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} $. Para resolver, vamos usar conceitos de conservação de momento e a fórmula do período do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a conservação do momento linear na colisão. Antes da colisão, apenas o projétil está em movimento. Depois, o projétil e o pêndulo se movem juntos. A fórmula da conservação do momento é:
mp cdot v = (mp + mpend) cdot V
Onde:
  • $ m_p = 0,015 , kg $ (massa do projétil)
  • $ v $ é a velocidade do projétil que queremos encontrar
  • $ m_pend = 6 , kg $ (massa do pêndulo)
  • $ V $ é a velocidade do sistema pêndulo + projétil após a colisão

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a velocidade $ V $ com o período $ T $. Sabemos que a energia cinética do sistema após a colisão se transforma em energia potencial no ponto mais alto da oscilação. A fórmula do período do pêndulo com pequena amplitude é:
V
Onde:
  • $ L = 1,7 , m $ (comprimento do fio)
  • $ g = 9,8066 , m/s^2 $
  • $ \theta_{\max} $ é o ângulo máximo da oscilação
Como o período foi fornecido, podemos usar essa informação para encontrar a relação entre $ V $ e $ \theta_{\max} $.

Passo 4

Vamos rearranjar a fórmula do período para isolar $ \theta_{\max} $:
thetamax
Subtraindo 1 de ambos os lados:
T2pi raizLg = 1 + 116 thetamax^2
Multiplicando por 16:
T2pi raizLg - 1 = 116 thetamax^2
Agora, a energia cinética após a colisão é igual à energia potencial no ponto mais alto:
thetamax^2 = 16 ( T2pi raizLg - 1 )
Para pequenos ângulos, $ 1 - \cos{\theta_{\max}} \approx \frac{\theta_{\max}^2}{2} $, então:
12 (mp + mpend) V^2 = (mp + mpend) g L (1 - costhetamax)
Simplificando:
1 - costhetamax approx thetamax^22
Substituindo $ \theta_{\max}^2 $:
12 V^2 = g L cdot thetamax^22

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores numéricos:
V^2 = 9,8066 cdot 1,7 cdot 16 ( 2,642pi raiz1,79,8066 - 1 )
Calculando $ \sqrt{\frac{1,7}{9,8066}} $:
raiz1,79,8066
Então:
raiz1,79,8066 approx raiz0,1736 approx 0,4165 , s
Calculando $ 2\pi \cdot 0,4165 $:
V^2 = 9,8066 cdot 1,7 cdot 16 ( 2,642pi cdot 0,4165 - 1 )
Portanto:
2pi cdot 0,4165
Substituindo de volta:
2pi cdot 0,4165 approx 2,617 , s
Então, $ V \approx \sqrt{2,136} \approx 1,461 , m/s $
Usando a conservação do momento:
2,642,617 approx 1,008 Rightarrow 1,008 - 1 = 0,008
V^2 = 9,8066 cdot 1,7 cdot 16 cdot 0,008 approx 9,8066 cdot 1,7 cdot 0,128 approx 2,136 , m^2/s^2
V approx raiz2,136 approx 1,461 , m/s

Passo 6

Agora, sabemos que a velocidade do projétil é dada por $ v = 51,908 \cdot n + 311,4477 $. Substituindo $ v \approx 585,07 $:
v = 51,908 cdot n + 311,4477
Subtraindo 311,4477 de ambos os lados:
v approx 585,07
585,07 = 51,908 cdot n + 311,4477
Dividindo por 51,908:
585,07 - 311,4477 = 51,908 cdot n

Resposta

O valor de $ n $ é aproximadamente 5,27.

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