(2,5) Um pêndulo simples, com amortecimento fraco, é formado por um fio ideal de comprimento L=0,50 m e um corpo de massa igual a 0,20 kg. A força de atrito é dada por Fa t=- 0 , 0 2 v. A energia inicial do pêndulo é de 3,5 times 10^-2 J.
a) (1,0) Calcule a energia perdida no primeiro ciclo.
b) (1,0) Em quantos ciclos o pêndulo perde 90 % de sua energia inicial?
c) (0,5) Em quantos ciclos a amplitude inicial diminui até a metade?

Passo 1

Resumo e teoria
O enunciado descreve um pêndulo de massa m=0,20 kg e comprimento L=0,50 m com amortecimento fraco devido à força de atrito
Fat=-b,v, b=0,02 kg/s
A energia inicial é E0=3,5times10^-2,J.
Para amortecimento fraco podemos tratar o movimento como quase harmônico e usar:
  1. O período aproximado é
T = 2piraizLg
  1. Em cada ciclo a energia decai segundo
De<a E = bintegral0^T v^2,dt = b,T,lang<= v^2rang<=
e para oscilador harmônico
lang<= v^2rang<= = Em
Logo
De<a E = b,Tm,E
  1. Após n ciclos,
En = E0l(1 - tfracbTmr)^n,
e a amplitude AproptoraizE.

Passo 2

Cálculo da energia perdida no primeiro ciclo
Primeiro encontramos o período
T = 2piraiz0,509,8approx 2piraiz0,05102approx 1,42 s
O fator de decaimento por ciclo é
alpha = b,Tm = 0,02times1,420,20approx 0,142
Então a energia perdida no 1º ciclo é
De<a E = alpha,E0 approx 0,142 times 3,5times10^-2,J approx 5,0times10^-3,J

Passo 3

Número de ciclos para perder 90% da energia
Queremos En = 0,1,E0, ou seja
l(1-alphar)^n = 0,1
Como 1-alphaapprox0,858,
n = ln(0,1)ln(0,858)approx -2,3026-0,1534approx 15,0
Portanto, são necessários cerca de 15 ciclos.

Passo 4

Número de ciclos para a amplitude cair à metade
Como An/A0 = raizEn/E0 = (1-alpha)^n/2, impomos
(1-alpha)^n/2 = tfrac12 Longrightarrow n2ln(0,858) = lnl(tfrac12r)
Logo
n = 2,ln(0,5)ln(0,858)approx 2,-0,6931-0,1534approx 9,0

Resposta

a) 5,0times10^-3,J
b) Aproximadamente 15 ciclos
c) Aproximadamente 9 ciclos

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