Um pêndulo simples é formado por uma bola de 300 g presa a uma das extremidades de um fio ideal (inextensível, sem massa) de comprimento igual a
. A outra extremidade é fixa. A bola é puxada até o fio fazer um ângulo de
com a vertical e em seguida ela é liberada, partindo do repouso. Determine:
a) A velocidade da bola quando ela faz um ângulo de
com a vertical.
b) A velocidade máxima da bola.
c) A tração no fio quando a velocidade é máxima.
d) O ângulo entre o fio e a vertical quando a velocidade da bola é igual a
do valor máximo.
a) A velocidade da bola quando ela faz um ângulo de
b) A velocidade máxima da bola.
c) A tração no fio quando a velocidade é máxima.
d) O ângulo entre o fio e a vertical quando a velocidade da bola é igual a
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo simples de massa
preso a um fio de comprimento
. A bola é solta a partir do repouso quando o fio faz um ângulo
com a vertical. Precisamos determinar:
a) a velocidade em ,
b) a velocidade máxima (no ponto mais baixo, ),
c) a tração no fio nesse ponto de velocidade máxima,
d) o ângulo quando a velocidade vale um terço da máxima.
Usaremos conservação de energia e, para a tração, a segunda lei de Newton no movimento circular.
a) a velocidade em
b) a velocidade máxima (no ponto mais baixo,
c) a tração no fio nesse ponto de velocidade máxima,
d) o ângulo
Usaremos conservação de energia e, para a tração, a segunda lei de Newton no movimento circular.
Passo 2
Pela conservação da energia mecânica, a variação de energia potencial gravitacional entre
e um ângulo genérico
se transforma em energia cinética. Tomando como referência a energia potencial mínima em
, temos
Logo
Para
, com
,
Passo 3
A velocidade máxima ocorre no ponto mais baixo
. Basta pôr
na fórmula de
:
Passo 4
No ponto mais baixo a aceleração é centrípeta e a tração
deve prover tanto o peso quanto a força centrípeta:
Substituindo
,
,
:
Passo 5
Queremos o ângulo
tal que
Quadrando ambas as expressões:
Cortando
e isolando
:
Logo
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)