Um pêndulo simples é formado por uma bola de 300 g presa a uma das extremidades de um fio ideal (inextensível, sem massa) de comprimento igual a 1,4 \mathrm{~m}. A outra extremidade é fixa. A bola é puxada até o fio fazer um ângulo de 37^{\circ} com a vertical e em seguida ela é liberada, partindo do repouso. Determine:
a) A velocidade da bola quando ela faz um ângulo de 20^{\circ} com a vertical.
b) A velocidade máxima da bola.
c) A tração no fio quando a velocidade é máxima.
d) O ângulo entre o fio e a vertical quando a velocidade da bola é igual a 1 / 3 do valor máximo.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples de massa m=0{,}30\\ \mathrm{kg} preso a um fio de comprimento L=1{,}4\\ \mathrm{m}. A bola é solta a partir do repouso quando o fio faz um ângulo \theta_{0}=37^\circ com a vertical. Precisamos determinar:
a) a velocidade em \theta=20^\circ,
b) a velocidade máxima (no ponto mais baixo, \theta=0),
c) a tração no fio nesse ponto de velocidade máxima,
d) o ângulo \theta quando a velocidade vale um terço da máxima.
Usaremos conservação de energia e, para a tração, a segunda lei de Newton no movimento circular.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica, a variação de energia potencial gravitacional entre \theta_0 e um ângulo genérico \theta se transforma em energia cinética. Tomando como referência a energia potencial mínima em \theta=0, temos
\Delta U = mgL\bigl(1-\cos\theta\bigr) - mgL\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr) = mgL\bigl(\cos\theta - \cos\theta_{0}\bigr).
Logo
\tfrac12\,m v^2 = mgL\bigl(\cos\theta - \cos\theta_{0}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad v(\theta) = \sqrt{2gL\bigl(\cos\theta - \cos\theta_{0}\bigr)}.
Para \theta=20^\circ, com g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2},
v(20^\circ) = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 1{,}4 \bigl(\cos20^\circ - \cos37^\circ\bigr)} \approx \sqrt{27{,}44 \times 0{,}14106} \approx 1{,}97\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

A velocidade máxima ocorre no ponto mais baixo \theta=0. Basta pôr \theta=0 na fórmula de v(\theta):
v_{\max} = \sqrt{2gL\bigl(\cos0 - \cos\theta_{0}\bigr)} = \sqrt{2 \times 9{,}8 \times 1{,}4 \bigl(1 - \cos37^\circ\bigr)} \approx \sqrt{27{,}44 \times 0{,}20136} \approx 2{,}35\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

No ponto mais baixo a aceleração é centrípeta e a tração T deve prover tanto o peso quanto a força centrípeta:
T - mg = m \,\frac{v_{\max}^2}{L} \quad\Longrightarrow\quad T = m\,\frac{v_{\max}^2}{L} + mg.
Substituindo m=0{,}30\\ \mathrm{kg}, v_{\max}\approx2{,}35\\ \mathrm{m/s}, L=1{,}4\\ \mathrm{m}:
T \approx 0{,}30\;\frac{(2{,}35)^2}{1{,}4} + 0{,}30\cdot9{,}8 = 0{,}30\;(3{,}945 + 9{,}8) \approx 4{,}12\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Queremos o ângulo \theta tal que
v(\theta) = \tfrac{1}{3}\,v_{\max}.
Quadrando ambas as expressões:
2gL\bigl(\cos\theta - \cos\theta_{0}\bigr) = \tfrac{1}{9}\,2gL\bigl(1 - \cos\theta_{0}\bigr).
Cortando 2gL e isolando \cos\theta:
\cos\theta = \cos\theta_{0} \;+\;\frac{1-\cos\theta_{0}}{9} = \frac{8\,\cos37^\circ + 1}{9} \approx 0{,}8210.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}8210)\approx 34{,}7^\circ.

Resposta

a) v(20^\circ)\approx1{,}97\\ \mathrm{m/s}.
b) v_{\max}\approx2{,}35\\ \mathrm{m/s}.
c) T\approx4{,}12\\ \mathrm{N}.
d) \theta\approx34{,}7^\circ.

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