O pêndulo de torção consiste em um cilindro suspenso por um fio metálico que passa em seu centro. O cilindro pode girar horizontalmente em torno do seu centro de massa, gerando uma torção no fio que o suspende. Este aparato permite estudar o movimento harmônico, oscilatório de torção. O período T de um pêndulo de torção é dado por T=2 π√(I/k), onde I é o momento de inércia do cilindro e k é a constante de torção do fio. Durante uma aula de física experimental, você obteve os seguintes resultados: k=(4,90±0,30)N m e T=(6,21±0,02)s. A partir das informações fornecidas e do conteúdo estudado em metrologia, podemos dizer que o valor do momento de inércia é dado por:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um pêndulo de torção, que basicamente é um cilindro pendurado por um fio metálico. Quando giramos o cilindro, o fio se torce e, quando liberamos, o cilindro oscila de um lado para o outro de forma harmônica. O que a gente precisa descobrir é o momento de inércia (I) desse cilindro usando as informações fornecidas: a constante de torção do fio (k) e o período de oscilação (T). Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona esses valores e aplicar os conceitos de propagação de incerteza da metrologia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona o período T de um pêndulo de torção com o momento de inércia I e a constante de torção k. A fórmula é:
T = 2pi raizIk
Nossa missão é encontrar o valor de I. Para isso, vamos isolar I na fórmula.

Passo 3

Vamos isolar I na equação. Começamos dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
2pi
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
T2pi = raizIk
Por fim, multiplicamos ambos os lados por k para isolar I:
( T2pi )^2 = Ik

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos:
  • k = $ 4,90 , N·m $ com uma incerteza de $ \pm 0,30 , N·m $
  • T = $ 6,21 , s $ com uma incerteza de $ \pm 0,02 , s $
Antes de calcular, é importante lembrar que precisamos propagar as incertezas através dessa equação para encontrar a incerteza em I.

Passo 5

Vamos calcular o valor de I usando os valores médios:
I = 4,90 times ( 6,212pi )^2
Primeiro, calculamos $ \frac{6,21}{2\pi} $:
6,212pi
Agora, elevamos ao quadrado:
6,216,2832 approx 0,988 , s
Multiplicando por k:
(0,988)^2 approx 0,976 , s^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a incerteza em I. A equação para propagação de incertezas quando temos $ I = k \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 $ é:
I = k ( T2pi )^2
Onde:
  • $ \Delta I $ é a incerteza em I
  • $ \Delta k $ é a incerteza em k
  • $ \Delta T $ é a incerteza em T
Substituindo os valores:
De
Calculando cada termo:
De
De
Somando os termos:
De
Agora, multiplicamos por I para encontrar $ \Delta I $:
De

Resposta

O momento de inércia do cilindro é $ I = (4,78 \pm 0,32) , kg·m^2 $.

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