O pêndulo de torção consiste em um cilindro suspenso por um fio metálico que passa em seu centro. O cilindro pode girar horizontalmente em torno do seu centro de massa, gerando uma torção no fio que o suspende. Este aparato permite estudar o movimento harmônico, oscilatório de torção. O período T de um pêndulo de torção é dado por T=2 π√(I/k), onde I é o momento de inércia do cilindro e k é a constante de torção do fio. Durante uma aula de física experimental, você obteve os seguintes resultados: k=(4,90±0,30)N m e T=(6,21±0,02)s. A partir das informações fornecidas e do conteúdo estudado em metrologia, podemos dizer que o valor do momento de inércia é dado por:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um pêndulo de torção, que basicamente é um cilindro pendurado por um fio metálico. Quando giramos o cilindro, o fio se torce e, quando liberamos, o cilindro oscila de um lado para o outro de forma harmônica. O que a gente precisa descobrir é o momento de inércia (I) desse cilindro usando as informações fornecidas: a constante de torção do fio (k) e o período de oscilação (T). Para isso, vamos usar a fórmula que relaciona esses valores e aplicar os conceitos de propagação de incerteza da metrologia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula que relaciona o período T de um pêndulo de torção com o momento de inércia I e a constante de torção k. A fórmula é:
Nossa missão é encontrar o valor de I. Para isso, vamos isolar I na fórmula.
Passo 3
Vamos isolar I na equação. Começamos dividindo ambos os lados por $ 2\pi $:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Por fim, multiplicamos ambos os lados por k para isolar I:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos:
- k = $ 4,90 , N·m $ com uma incerteza de $ \pm 0,30 , N·m $
- T = $ 6,21 , s $ com uma incerteza de $ \pm 0,02 , s $
Antes de calcular, é importante lembrar que precisamos propagar as incertezas através dessa equação para encontrar a incerteza em I.
Passo 5
Vamos calcular o valor de I usando os valores médios:
Primeiro, calculamos $ \frac{6,21}{2\pi} $:
Agora, elevamos ao quadrado:
Multiplicando por k:
Passo 6
Agora, vamos calcular a incerteza em I. A equação para propagação de incertezas quando temos $ I = k \left( \frac{T}{2\pi} \right)^2 $ é:
Onde:
- $ \Delta I $ é a incerteza em I
- $ \Delta k $ é a incerteza em k
- $ \Delta T $ é a incerteza em T
Substituindo os valores:
Calculando cada termo:
Somando os termos:
Agora, multiplicamos por I para encontrar $ \Delta I $:
Resposta
O momento de inércia do cilindro é $ I = (4,78 \pm 0,32) , kg·m^2 $.