Uma pequena bola foi lançada de uma altura de 40 m com velocidade inicial de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a altura em que se encontra a bola quando sua velocidade for 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:
\text{Uma bola é lançada de uma altura }40\\ \mathrm{m}\text{ com velocidade inicial }30\\ \mathrm{m/s}.éç
O que se pede:
\text{Determinar a altura em que a bola se encontra quando sua velocidade for }10\\ \mathrm{m/s}.
Dados escritos de forma clara:
y_0=40\\ \mathrm{m},\quad v_0=30\\ \mathrm{m/s},\quad v=10\\ \mathrm{m/s}.
Observação (apenas identificação do pedido): não foi indicado o sentido explícito do lançamento, então vamos adotar a convenção usual (ver Passo 2) e resolver o problema de forma completa.

Passo 2

Escolha de convenção de sinais e definição das variáveis:
\begin{aligned} &y(t)\\ \text{é a altura da bola no instante }t,\\\ &y_0\\ \text{é a altura inicial }(y_0=40\\ \mathrm{m}),\\\ &v(t)\\ \text{é a velocidade vertical no instante }t,\\\ &v_0\\ \text{é a velocidade inicial }(v_0=30\\ \mathrm{m/s}),\\\ &a\\ \text{é a aceleração (devida à gravidade).} \end{aligned}éééééçãà
Adotamos eixo vertical positivo para cima. A aceleração da gravidade aponta para baixo, então
a=-g,\quad\text{com }g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Derivação da fórmula que vamos usar (aula rápida e didática):
Temos as equações cinemáticas para movimento retilíneo uniformemente acelerado (MRUA) na vertical:
v = v_0 + a t
e
y = y_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
Queremos eliminar o tempo t para relacionar diretamente v e y. Da primeira equação isolamos t:
t=\frac{v-v_0}{a}.
Substituímos esse t na equação de y:
y = y_0 + v_0\left(\frac{v-v_0}{a}\right) + \tfrac{1}{2}a\left(\frac{v-v_0}{a}\right)^2.
Fazendo as manipulações algébricas (multiplicando tudo por 2a para simplificar) chega-se à forma conhecida:
v^2 = v_0^2 + 2a(y-y_0).
Explicação do que cada termo significa:
  • v^2 é o quadrado da velocidade no instante em que queremos saber a altura.
  • v_0^2 é o quadrado da velocidade inicial.
  • 2a(y-y_0) relaciona a variação de energia cinética com a variação de altura, via aceleração constante.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso problema:
Usamos
v^2 = v_0^2 + 2a(y-y_0).
Substituindo v=10\\ \mathrm{m/s}, v_0=30\\ \mathrm{m/s}, a=-9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e y_0=40\\ \mathrm{m}:
10^2 = 30^2 + 2(-9{,}8)(y-40).
Calculando passo a passo:
100 = 900 - 19{,}6\,(y-40).
Reorganizando:
19{,}6\,(y-40) = 900 - 100 = 800.
Isolando y-40:
y-40 = \frac{800}{19{,}6}.
Simplificando a fração (observe que 19{,}6=196/10):
y-40 = \frac{800}{19{,}6} = \frac{8000}{196} = \frac{2000}{49}\approx 40{,}81632653\\ \mathrm{m}.
Portanto
y = 40 + \frac{2000}{49} = \frac{3960}{49}\\ \mathrm{m} \approx 80{,}81632653\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação física e verificação rápida:
  • O resultado indica que quando a velocidade tem módulo 10\\ \mathrm{m/s} a bola está a cerca de 80{,}82\\ \mathrm{m} de altura.
  • Faz sentido fisicamente: como a bola foi lançada para cima com 30\\ \mathrm{m/s}, ela sobe até uma altura máxima
\Delta y_{\text{máx}}=\frac{v_0^2}{2g}=\frac{900}{19{,}6}\approx45{,}918\\ \mathrm{m},á
logo a altura máxima é 40+45{,}918\approx85{,}918\\ \mathrm{m}. Nossa altura calculada 80{,}816\\ \mathrm{m} é menor que o máximo, portanto corresponde ao ponto onde a bola, subindo, tem velocidade 10\\ \mathrm{m/s} (e, ao descer, ela passará novamente por essa mesma altura com velocidade 10\\ \mathrm{m/s} em sentido oposto).
  • Conclusão: existe uma única altura onde o módulo da velocidade vale 10\\ \mathrm{m/s}; ela é aproximadamente 80{,}82\\ \mathrm{m}.

Resposta

80{,}82\\ \mathrm{m}

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