Uma pequena bola é lançada verticalmente para baixo, de uma altura de 50 m com velocidade inicial de 8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a velocidade da bola faltando 10 m para atingir o solo.

Passo 1

O enunciado diz que uma pequena bola é lançada verticalmente para baixo a partir de uma altura de 50\\ \mathrm{m} com velocidade inicial de 8\\ \mathrm{m/s}. Pede-se a velocidade da bola quando faltar 10\\ \mathrm{m} para atingir o solo. Informações dadas (listadas claramente):
h_0 = 50\\ \mathrm{m}
v_0 = 8\\ \mathrm{m/s}\\ \text{(para baixo)}
h = 10\\ \mathrm{m}
Distância percorrida até esse instante (ou seja, quanto a bola já caiu):
\Delta y = h_0 - h = 50 - 10 = 40\\ \mathrm{m}
Aceleração da gravidade (valor padrão que usaremos):
g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2}
O que precisamos encontrar: a velocidade v da bola quando ela está a 10\\ \mathrm{m} do solo. Não resolveremos nada ainda, só organizamos os dados.

Passo 2

Escolha do método e fórmula a usar: como a aceleração é constante (gravidade) e queremos a velocidade sabendo a distância percorrida, a fórmula de cinemática que liga velocidade, velocidade inicial, aceleração e deslocamento é a mais direta. Essa fórmula é:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta y
Explicando cada símbolo:
  • v é a velocidade final que queremos achar (magnitude, positiva quando falamos de velocidade escalar).
  • v_{0} é a velocidade inicial ( 8\\ \mathrm{m/s}).
  • a é a aceleração; como escolhemos para baixo como sentido positivo (já que o lançamento foi para baixo), a=g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • \Delta y é o deslocamento na direção escolhida (quanto caiu): \Delta y=40\\ \mathrm{m}.
    Observação didática: essa equação vem das equações do movimento uniformemente acelerado e é útil porque elimina o tempo t — muito prático em prova quando o tempo não é pedido.

Passo 3

Substituímos os valores na fórmula e fazemos as contas passo a passo:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta y
v^{2} = 8^{2} + 2\cdot 9,8 \cdot 40
Calculemos cada termo:
8^{2} = 64
2\cdot 9,8 = 19,6
19,6 \cdot 40 = 784
Agora somamos:
v^{2} = 64 + 784 = 848

Passo 4

Tirar raiz quadrada para obter v. Tomamos a raiz quadrada positiva porque estamos buscando a velocidade escalar (módulo):
v = \sqrt{848}
Para fazer sem calculadora, podemos aproximar: 29^{2}=841, faltam 848-841=7. Usando uma aproximação linear da raiz:
\Delta v \approx \frac{7}{2\cdot 29} = \frac{7}{58} \approx 0,1207
Logo
v \approx 29 + 0,1207 \approx 29,12\\ \mathrm{m/s}
Ou seja, a velocidade é aproximadamente 29{,}12\\ \mathrm{m/s} para baixo. Como o enunciado pede “a velocidade da bola”, normalmente reportamos o módulo (valor positivo) e, se quisermos indicar direção, dizemos “para baixo”.

Passo 5

Verificação rápida de ordem de grandeza: uma queda livre de 40\\ \mathrm{m} parte de 8\\ \mathrm{m/s} deve aumentar bastante a velocidade — resultado de cerca de 29\\ \mathrm{m/s} faz sentido. Está coerente com as fórmulas e com a física intuitiva.

Resposta

29{,}12\\ \mathrm{m/s}

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